时间：2022-10-23 05:35:19
近几年高考命题常在知识交汇点上出题，立体几何中一些动点的轨迹问题，与解析几何中的圆锥曲线结合在一起，立体几何作为载体，灵活考查解析几何知识，达到了整体把握几何的高度，体现了几何由静态到动动态的变化，一方面新情境使得问题生动活泼，富有情趣；另一方面也加速了学生对这两块知识的自觉整合、探究，可谓双几合璧，培养能力。解决这一类问题，通常从以下几方面入手。
一、从立体几何中挖掘圆锥曲线的定义。
例1：如图所示：正方形ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内一动点P到A1B1与到BC的距离相等，则动点P所在曲线形状是 （ B）
这道题首先考查立体几何中点到平面的距离，然后考查圆锥曲线中抛物线的定义，将二者紧密结合起来，在立体几何中P点到直线BC的距离，由于BC直线垂直平面AB A1B1，从而将点线距离转化为点P到B点的两点之间的距离。平面AB A1B1就是我们研究圆锥曲线轨迹的平面，即平面内一动点P到一定点B与定直线A1B1的距离相等，显然B点就是焦点， A1B1就是准线，所以轨迹是抛物线的一部分。并且在这一个特殊的平面中可以根据圆锥曲线的第二定义作适当的变式设计双曲线、椭圆。
变式：正方形ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内一动点P到A1D1与到BC的距离相等，则动点P所在曲线形状是什么图形？
二、寻求立体几何图中的不变关系与不变量，构造特殊三角形。
例2：.已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的体积为 （）
A． πB． π C． π D． π
连接DN、DP，DD1ABCD，DD1DN，这是一个不变的垂直关系，DMN始终是一个直角三角形，当N点与D点重合或M点与D点重合除外，此时是轨迹的特殊情况。又因为MN=2是一个不变的量，DP是直角三角形的中线，DP=1也是一个不变的量，即在空间上动点到点D的距离始终是一个定值，所形成的曲面是球面的一部分，且球的半径为1。又因为∠BAD=60°∠ADC=120°，因此，所形成的曲面的面积是半球面的 。
变式：如图2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，长为3的线段MN的一个端点M在A1D1上运动，另一个端点N在AB上运动，则MN的中点P的轨迹是 （）
A．圆的一部分 B．球面的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
连接AP、MA，可以类似地得到AMN是一个直角三角形，但点P的轨迹是不是球面呢？（留给读者自已思考）
三、利用立体几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何方法求轨迹。
例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM= ，动点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系中，动点P的轨迹是（ D）
A．直线 B.圆 C.双曲线D.抛物线
法一：如图1，作PNAD，垂足为N，作NE∥AA1，连PE，
则PEA1D1，又PE2-PM2=1，即PN2+NE2-PM2=1，NE= AA1=1
PM=PN所以点P是平面内到定点M的距离等于它到定直线
AD的距离的点，即以点M为焦点，直线AD为准线的抛物线。
法二：如图2在平面ABCD上建立坐标系，设P（x,y，0）
M（ ，0，0），E（0， ），依题意有： ，
整理得动点的轨迹为抛物线的一部分。
随着新课改的进一步深入，高中数学几个重要的知识板块越来越注重知识间联系与方法的整合。本文就立体几何中动点运动的轨迹问题，将平面几何与立体几何及解析几何紧密地结合起来，形成一个有机的整体。若动点运动时保持某些距离或角度不变，求其轨迹时，通常借助解析几何中有关轨迹定义（如圆、圆锥曲线、线段的垂直平分线、角平分线、球等），利用空间几何性质，将立几问题转化到平面上，再利用解析几何方法求轨迹。
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