时间：2022-10-22 09:14:02
对于一个存在逆矩阵的二阶矩阵，如何求出它的逆矩阵?本文就逆矩阵的求解方法作一简述．
例求矩阵A=21201的逆矩阵
分析一：矩阵A对应一个几何变换，只要找出它的逆变换，就可以根据逆变换写出逆矩阵．
解1：矩阵A对应的几何变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，而将横坐标变为原横坐标的2倍并依纵坐标的12增加，即(x,y)(2x+12y,y)的几何变换，因此它的逆变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的12并依纵坐标的14减少，即(x,y)(12x－14y,y)，A－1=12－1401
点评：利用几何变换法求解逆矩阵，首先要找准逆变换，再写逆矩阵，该题中的逆变换易认为是：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的12减少，再变为原来的12．导致求解错误，故对几种基本几何变换要熟练掌握，需谨慎对待．
分析二：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，由矩阵乘法并根据可逆矩阵定义得到一个方程组，进而解出a,b,c,d的值．
解2：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，
所以AA－1=2a+12c2b+12dcd
=1001
2a+12c=12b+12d=0c=0d=1,
a=12b=－14c=0d=1
A－1=12－1401
点评：这种利用方程组方法求解逆矩阵，是求解二阶逆矩阵的基本方法，主要理论依据是可逆矩阵的定义．
分析三：利用行列式求解逆矩阵，首先求出|A|的值，然后套用结论即可解决．
解3：|A|=2,1|A|=12，
A－1=1|A|
1－1202=
12－1401
点评：一般地：若二阶可逆矩阵A=
abcd
(ad－bc≠0),它的逆矩阵为A－1=1|A|d－b－ca．
分析四：在原二阶矩阵A的边上傍一个二阶单位矩阵对二阶矩阵施行变换的同时，单位矩阵也施行同样变换，当矩阵A化为单位矩阵时，右边单位矩阵转化的结果即为所求矩阵A的逆矩阵．
解：21201
1001
第二行乘以－12加到第-行
2001
1－1201
第一行乘以12
1001
12－1401，
矩阵A的逆矩阵为A－1=12－1401．
点评：这种利用行变换求逆矩阵方法，特别要注意两个矩阵必须同时施行同样变换．
对于上述几种求解逆矩阵的方法，在学习过程中，请同学们注意比较，做到能根据具体问题选择较为合适的解决问题方法．
（作者：车树勤，江苏省连云港市锦屏高级中学)