等比数列前n项和公式的推导方法探讨

关于等比数列求和公式的推导,是教学的重点、也是教学的难点。但是在课堂教学过程中,只要教师能有效地发挥教学的主导作用,引导学生将新旧知识联系起来寻找解决问题的突破口,问题就会变得简单明了。现在,我就等比数列前n项和公式的推导方法作如下探讨,仅供大家参考。

方法一:以等比数列的定义和前n项和的意义为切入点,引导学生联系初中学过的等比性质,我在导入新课之前设置了以下问题:

(1) 等比数列的定义:a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=

a

(2) 数列前n项和的意义:Sn=a1+a2+a3+…+an

(3) 请回顾初中学过的等比性质。

学生自然会联系等比性质由(1)得到:a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q

于是,不难得出:Sn-a1Sn-an=q,(1-q)Sn=a1-qan

当q≠1时,Sn=a1-anq1-q,

an=a1qn-1,Sn=a1-a1qn-1q1-q=a1(1-qn)1-q

Sn=a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q

当q=1时,Sn=na1

方法二:仍然以等比数列定义为依据启发学生思考:数列{an}是等比数列an+1an=q(n∈N),an+1=qan,即等比数列中的每一项乘以公比都得到下一项,于是就容易得到错位做差法,也就是高中数学教材(人教版)第一册(上)p126页的证法。

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1 ①

①×q,得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn ②

①-②,得(1-q)Sn=a1(1-qn)

当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q

当q=1时,Sn=na1

方法三:受证法二的“消项”这一思想方法的启示,引导学生给

Sn=

a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1

的左边通过添项、提取公因式等恒等变形手段,同样可以达到消去中间项的目的。所以有:

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn-a1qn

=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1)-a1qn

=a1+qSn-a1qn

=a1(1-qn)+qSn

(1-q)Sn=a1(1-qn)

当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q

当q=1时,Sn=na1

方法四:启发学生思考数列前n项和Sn与第n项an的关系:an=Sn-Sn-1(n∈N+,n≥2),类似证法三,从第二项起开始提取公比q。有:

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

=a1+q(a1+a1q+a2q2+…+a1qn-3+a1qn-2)

=a1+qSn-1

=a1+q(Sn-an)

(1-q)Sn=a1-qan

当q≠1时,Sn=a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q

当q=1时,Sn=na1

方法五:受方法三、四的启发,从第一项起每一项提取a1,联系到公式:1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1),当q≠1时,1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q。于是得到:

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

=a1(1+q+q2+…+qn-1)

当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q

当q=1时,Sn=na1

以上我从不同的角度引导学生寻求等比数列前n项和的推证方法,使学生在学习新知的过程中容易产生耳目一新的情景,不但有利于学生深刻理解、记忆等比数列前n项和公式,更重要的是学生通过这五种证法,获得了一些解决问题的思想方法。