如何上好高等代数第一堂课

2019-10-21 版权声明 举报文章

高等代数是大学数学类专业一门重要的基础课,其特点是知识点繁多、抽象性强、逻辑推理严密.由于刚入大学的新生面临学习习惯的改变和数学思维方式从初等数学到高等数学思维方式的过渡,在学习高等代数课程初期就会感觉本课程枯燥难懂,难于提起学习兴趣.俗语说“好的开始时成功的一半”,本文将阐述如何上好高等代数第一堂课,让学生对该课程有一个整体的认识,把该课程当作是一个有待开发和探究的宝藏,激发学生的学习兴趣,树立学好本课程的信心.

一、突出课程地位

高等代数与数学分析和空间解析几何并称为高等数学的三大基础课.学习这些课程,会让我们领悟到,利用新的数学工具,可以解决理、工、农、医、管、教育等各专业的实际问题.随着计算机技术的发展使得处理离散型关系的数学理论的重要性日益突出.而高等代数的研究对象包括多项式、向量、矩阵和线性方程组等等,涉及的数量往往是离散型的,主要解决离散系统的问题,也就是用代数的方法刻画事物的数量关系,因此,高等代数在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域都有广泛的应用.从思维特点上来看,代数以有序思维占主导,侧重培养计算与逻辑思维能力,因此,很多抽象的概念如n维向量及其线性相关性等都要借助几何为之提供直观,再经过归纳、提炼、抽象出一般理论,这使得高等代数更具抽象性.但正是这样的抽象性,才使其成为数学分析从研究单变量函数过渡到多变量函数时,必须要用到的重要工具,同时,也为几何提供代数方法,从而彻底解决二次曲线和二次曲面分类问题.

二、阐明课程体系

高等代数主要包括多项式理论和线性代数理论.其中多项式理论主要研究一般数域上的多项式整除、最大公因式、多项式的因式分解理论.多项式作为形式表达式在现代信息技术领域有重要的应用,而作为最简单函数之一,多项式也往往是数值计算时将函数化繁为简的一个首选目标.线性代数理论主要包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换和欧氏空间等理论.在整个线性代数理论体系中,矩阵理论是一条主线,也是解决各个理论问题的重要工具.我们研究行列式的计算和矩阵的初等变换,首先是为了求解线性方程组.研究线性方程组,就要研究各个方程之间的关系,这有涉及到研究向量、向量组的线性相关性、线性空间、线性空间的基和维数等.这些都要用到矩阵的运算、运算的性质、矩阵的各种标准形等.而线性方程组的一个重要应用就是计算矩阵的特征值和特征向量,它们是刻画系统稳定性的重要指标.研究二次型,同样用到矩阵作为工具,直观地讲,就是可以利用矩阵作为工具,彻底解决空间有心二次曲面的分类问题.这些知识点之间,看似繁多又联系不那么紧密,但实则是各知识点环环相扣,构成了一个完整的理论体系.

三、介绍发展简史

介绍高等代数的一些发展历史,既能让学生领略历史上伟大数学家的风采,了解它们对数学及其他科学发展的重要贡献,也能让学生体会到数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连.

例如,针对多项式理论,我们可以介绍一元高次多项式根式解的研究历史.两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程,十六世纪初欧洲文艺复兴时期之后, 求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题.1545年意大利数学家G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》(Ars Magna)中给出了三、四次多项式的求根公式, 此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法, 但都失败了.直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式.但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根.最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811 - 1832), Galois引入了扩域以及群的概念, 并采用了一种全新的理论方法(群论)发现了高次代数方程可解的法则.但是,当物理学家在20世纪上半叶发现群论时,发现这正是他们所需要的数学语言,利用它可以统一伟大的能量守恒定律、动量守恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律等理论.

在第一堂课给学生介绍诸如此类的高等代数发展史、经典的数学家小故事和富有启发意义的历史话题,可以使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科,而是一门不断发展的生动有趣的学科,从而可以大大激发学生学习数学的兴趣,更能让学生数学感受到,数学本身的发展历史足以使之散发无穷的光芒,进而形成探究和感受数学文化的良好氛围.

四、联系课程应用

介绍高等代数在实际中的应用是化解学生对学习高等代数存在畏难情绪的有效方法之一.我们可以向学生介绍一些易于理解,和现实生活紧密相关的一些小例子.

五、给出学法建议

首先是转变观念.学生应尽快实现从‘应试’到‘应用’的转变和从‘被动’到‘主动’的转变.其次是处理好宏观与微观的关系,在宏观上要理解该理论体系中渗透的重要数学思想,注意理论体系的建立,利用联系的观点,把握课程的整体性、系统性和连贯性.同时注重高等代数和解析几何、数学分析等课程之间的联系.在微观上,掌握各知识点采用了哪些最有效的数学研究方法,例如类比联想、分析综合、归纳演绎等一般科学方法,以及反证法、数学归纳法、数学构造法等独特的数学数学解题方法与技巧.进而掌握高等代数中的基本概念(定义、符号)、基本理论(定理、公式)、基本方法(计算、证明).第三是养成良好的学习习惯培养自主学习能力.要养成“温故知新”的好习惯,课外做好充分的预习和复习.要通过练习题和习题巩固和加深对概念的理解和掌握, 熟悉各种公式和定理的运用.要善于总结、勤于思考, 著名科学家牛顿在被问到是什么使他发现了万有引力定律时, 其回答非常简单:“By th ink ing on it con t inually”.这看似简单的回答却给出了一个真理: 几乎所有的伟大发现都归功于不断的思考.第四是培养提出问题、分析问题和解决问题的能力,提高创新意识和自主学习的能力.

总之,怎样上好这堂课,怎样在这个课堂上展示数学的魅力,为后续的教学打下良好的基础?需要我们每一位从事高等代数教学的教师深入地思考、探索和行动.

(本文受吉林省教育科学规划课题(2012-5-51)

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