“连续型随机变量的密度函数”微课教学设计

【摘要】以概率统计课程中的“连续型随机变量的密度函数”知识点为例，结合微课教学的特点，从教学目标、重难点分析及对策、教学过程及方法、教学思想方面进行了专门的教学设计，并通过教学实践取得了较好的效果.

【关键词】微课；密度函数；教学设计

【中图分类号】G642【文献识别码】A

【基金项目】（1）2015.06.01-2016.05.31，西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”（项目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02-2016.07，四川省教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.01-2017.08.10，高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）.

随着高校教育教学改革的不断深化和网络通信技术的快速发展，微课作为一种新兴教学方式，正受到教育界越来越多的关注.近两年教育部举办的“全国高校数学微课程教学设计竞赛”反响非常热烈，涌现出一批优秀的数学微课作品.笔者选取概率统计课程中的“连续型随机变量的密度函数”知识点作为微课参赛作品，获得“第二届（2016）全国高校数学微课程教学设计竞赛”西南赛区一等奖.现将本次微课教学设计思路及教学特色与同行分享.

一、教学目标

本次微课的教学目标是：

1.了解连续型随机变量与离散型随机变量的差异；

2.理解连续型随机变量概率密度函数的定义和性质；

3.体会密度函数对于研究连续型随机变量的价值及其在方法论上的意义.

二、重难点分析及对策

（一）重难点：密度函数的概念和性质

密度函数是连续型随机变量的标杆.因为只要知道密度函数，就可以通过积分计算连续型随机变量的各种概率，从而明确该随机变量的概率分布及特征，所以深入理解密度函数的概念和性质十分重要.按严格意义的表述，连续型随机变量及其密度函数是捆绑在一起定义的，直接给出该定义对学生来讲显得很突然而且抽象，不容易接受.因此，教学中应注意概念引入的方式和技巧，以便对概念的内涵有深刻的理解.

（二）重难点突破对策

对策1：引导学生发散式思维，由离散过渡到连续.离散型随机变量在某个区间上的概率计算是随机变量在该区间中所有取值对应的概率求和，以此为背景，通过将取值点不断加密，自然地将取值的视野引入连续区间的情境，想到连续的求和就是积分.于是区间上概率的计算问题也就从离散情形下的概率求和转化到连续情形下的积分.这个基本思路必须是学生头脑中形成的处理随机变量概率问题的第一反应，达到这个层面，对连续型随机变量相关概率的几何意义、密度函数的性质等等的理解就会顺理成章.

对策2：类比思想.通过类比物理中求非均匀细杆质量的例子，激活学生原有经验，调动学生积极主动思维，类比探究连续型随机变量区间上概率计算的定积分表达式，引出概率密度函数存在性的猜想.

三、教学过程及方法

本次微课结合PPT演示，教学时间15分钟.采用探索式、提问式、启发式、类比式教学，由表及里、层层递进、步步设问，引导学生主动思考，利用旧知识解决新问题，激发学生的创新意识，培养学生的发散性思维和能力，达到理解并掌握知识的目的.

（一）区间上概率问题的提出及密度函数概念的引入（4分钟）

1.通过探讨式教学，让学生对连续型随机变量的概念有初步的直观感受，并得出连续型随机变量需关注区间上的概率计算问题.

首先，通过对日常生活中实际问题的直观感受，引入与离散型随机变量不同的另一类随机变量，如手机的使用寿命、某人在车站等车的时间等，称之为连续型随机变量.然后，启发学生思考：这些所谓的连续型随机变量与离散型随机变量的区别在哪里呢？学生们容易发现：它们与离散型随机变量的最大不同在于取值可能为某实数区间的任意值，而不是至多可列个值，这一不同造成了连续型随机变量X取某一个点的概率毫无意义，需着重关注的问题是X落在某个区间内的概率，如P（a

2.通过探求连续型随机变量概率的计算问题，参照定积分的微元分析方法，由离散向连续过渡；同时与非均匀细杆质量的线密度作类比，启发学生猜想密度函数概念的存在性.

①定积分解决概率问题思想的形成

【利用旧知识解决新问题】首先回顾离散型随机变量求P（a

【提出问题，启发学生思考】为了从离散向连续转变，我们想象这里的离散型随机变量X的取值越来越密集，最后连成一片构成一个区间，此时如何计算P（a

【预设回答】大部分学生会回答“积分”.

【进一步启发】连续的求和就是积分，该积分值显然与区间（a，b]有关，于是猜想能否存在某个函数f（x），将P（a

②概率密度函数存在性的猜想.

【类比猜想】概率是对随机事件发生可能性大小的一N度量，它本质上与长度、质量等度量方式没有区别.并且注意到随机变量X落入整个实数轴是一必然事件，其概率为1，所以引导学生类比猜想：将整个实数轴设想成一根无限长的质量为1的非均匀细杆，于是计算P（a

【揭晓答案】事实上，经过数学家们的研究，对连续型随机变量，这样的概率密度函数的确存在.下面给出连续型随机变量及其密度函数的严格定义.

（二）连续型随机变量及其密度函数的定义与性质（4分钟）

定义1设X是随机变量，若存在函数f（x）满足

（1）对任意的实数x，有f（x）≥0；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1；

（3）对任意两个实数a，b（a

则称X为连续型随机变量，f（x）为X的概率密度函数，简称密度函数或概率密度.

【教学特色】本次教学设计中未采用传统的密度函数定义.

定义2设F（x）是随机变量X的分布函数，如果存在某个非负函数f（x），使对任意的实数x，有F（x）=∫x-∞f（x）dx，则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的密度函数.定义2直接给出了分布函数和密度函数的关系，定义中的积分表达式是反常积分中的变上限积分形式，初学者难于理解，甚至容易将分布函数与密度函数混淆.为此，教学过程中采用另一种密度函数定义方式（定义1），其优点在于：①承上启下，易于理解；②化繁为简，由易到难.

密度函数的性质：

（1）f（x）≥0（非负性）；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1（归一性）.

注：这两条性质是判断一个函数能否成为概率密度函数的充要条件.

（三）连续型随机变量区间上概率问题的解决（6分钟）

由P（a

（1）P（a

根据定积分几何意义可知，随机变量X落在区间（a，b]上的概率，恰好等于在区间（a，b]上由曲线y=f（x）形成的曲边梯形的面积.因此，可通过图形直观地感受随机变量的概率分布情况.

（2）密度函数与分布函数的关系.

由关系式∫baf（x）dx=F（b）-F（a），引导学生探索分布函数F（x）和密度函数f（x）之间的关系.

【提出问题，引导学生思考】根据上述等式，大家联想到微积分学中一个什么重要公式呢？这表明f（x）和F（x）之间可能会是一种什么关系呢？

【预设回答】大部分学生会回答“牛顿-莱布尼兹”公式；“F（x）是f（x）的一个原函数”.

【进一步启发并论证】分布函数F（x）能借助密度函数f（x）的积分形式来直接表达吗？

F（x）=P（-∞

【深挖内涵，层层深入】

上式表明F（x）是关于f（x）的积分上限的函数，根据微积分知识，可以得到以下结论：

①连续型随机变量的分布函数F（x）一定是连续函数；

②在F（x）的可导点x处，则有F′（x）=f（x），即分布函数就是密度函数的一个原函数；

③由结论②，进一步得到

f（x）=F′（x）=limΔx0F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx0+P（x

该式表明，概率密度就是平均概率的极限，刻画了分布函数变化的快慢程度；

④由结论③，进一步得到

P（x

该式表明，随机变量X落在区间（x，x+Δx]上的概率与点x处概率密度成正比，即f（x）越大，在该点附近取值的概率就越大，体现了概率在x点附近的密集程度.

（四）小结与课后思考（1分钟）

本次课通过类比猜想的方式引入连续型随机变量的密度函数的概念，解决了连续型随机变量在区间上概率的计算问题，并探讨密度函数与分布函数的关系，将知识升华.

四、教学思想小结

1.通过对日常生活中实际问题的分析，引出对连续型随机变量的直观感受，让学生认识到它与离散型随机变量的差异，蕴含了从具体到抽象的思维方式；进一步由离散向连续过渡，温故而知新，运用微元分析法，提炼出区间上概率的计算思路，体现了有限和无限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一的辩证法教学思想.

2.采用“类比”教学法，⒘续型随机变量的概率计算与非均匀细杆的质量计算作类比，引入概率密度函数的概念，引导学生大胆设想和猜测，激发他们的创新意识并培养其发散性思维及能力.

3.通过对密度函数与分布函数关系的讨论，让学生进一步认识到微积分在研究概率领域中的作用，再次体会到微积分的无穷魅力.

4.通过问题驱动，引导学生主动学习和思考，激发他们发现问题和用科学方法解决问题的兴趣和意识，培养其运用数学解决实际问题和进行科学研究的探索能力，体现“授人以渔”.