从“人离开水”到“水离开人”的思考

我们都知道司马光砸缸救人的故事,按照常规救人的方法是“人离开水”,但是由于缸高、人矮、力气小,当时在场的小朋友没有一个人能使“人离开水”. 司马光拿起石头,把缸砸破,水流光了,儿童自然也就得救了. 这样司马光把救人的一般方法“人离开水”变成了 “水离开人”,实际上是把解决问题的方法从一个角度转化为另一个角度,而且恰巧从这一个角度的解决问题的方法或方案又是实际可行的,从而来达到解决原问题的目的.

在初中数学中,由于受思维定势(即思维的固有模式或习惯性)的影响,同学们常常习惯于抓问题的正面,即从条件入手,逐步分析,求得结论,这在很多情形下,会有助于快速形成正确思路,当然是正确的. 然而当正面比较困难,甚至难以凑效时,会干扰正确思路的形成,此时如果我们重新审视问题,另辟蹊径,转化解决问题的角度,有时可以打破僵局,化难为易,起到事半功倍的效果.

1 利用“换位思考”法

据说,我国著名数学家苏步青教授小的时候,曾在电车上碰到一位有名的外国数学家,这位数学家给他出了这样一道应用题:甲乙两人同时从相距100千米的东西两地相向而行. 甲每小时行6千米,乙每小时行4千米. 甲带着一只狗,狗每小时走10千米,这只狗同甲一道出发,碰道乙后立刻调头朝甲走,碰道甲后立刻调头朝乙走,直到两人相遇. 问这只狗一共走了多少千米?苏教授在下车前的短短时间里就给出了答案:狗一共走了100千米.

在这里不要被这只狗在甲乙两人之间来回走(包括来回多少次,每一次走多远等)所蒙蔽,要抓住问题的实质:在已知狗的速度的前提下,只要知道狗走的时间就可以求出狗所走的路程,而狗所走的时间就是甲、乙两人相遇的时间,不需要分段求出时间再逐步累加,因此这里的答案就能很快求出了.

从中我们可以看到巧妙地观察问题的特点,善于转化,抓住问题的关键,是能够“创造” 出最佳的解决方法的.

2 利用“逆向思维”法

趣题:李白无事街上走,提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗(斗是古代盛酒器皿),三遇店和花,喝完壶中酒. 试问壶中原有多少酒?

这个趣题在解决上可以用方程的思路来解决,只不过所列方程的求解比较麻烦(含有多重括号),如果我们用逆向思维法来思考,问题很简单,根本不需要列方程.

我们先从最后一花来思考,在遇见最后一花时,从“喝完壶中酒”来分析:原来壶中的酒应该是1斗,这1斗恰好是在第三店时加倍后的酒,因此在第三店前未加倍时应该有酒0.5斗,依次倒推,所以在第二花前壶中有酒1.5斗,第二店前未加倍时有酒0.75斗;在第一花前壶中有酒1.75斗,第一店前未加倍时有酒0.875斗,而这就是壶中原有的酒量.

类似的思考方法在解决抛物线的平移问题时,如果我们能合理地运用,也能达到事半功倍的效果的.

例1 把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,求b、c的值.

我们也从最后一条抛物线y=x2来进行逆向思维:它是由抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位,再向左平移4个单位后得到,因此将它逆向思考后就是:抛物线y=x2+bx+c就是把抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移4个单位后得到,所以原抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标是(4,-2),运用顶点式就可以得到原抛物线的解析式为y=(x-4)2-2=x2-8x+14,然后对照系数就可以得到b=-8、c=14,解法简洁明了.

3 利用“图形辅助”法

数学趣味题:由甲、乙两站分别同时对开第一辆电车后,每隔6分钟再同时对开一辆,假如电车匀速前进,需要30分钟能到达对方站. 有一乘客坐在从甲站开出的第一辆电车到乙站,那么这个乘客在途中遇到从乙站开出的电车有几辆?

这个问题头绪纷呈,列方程求解会很麻烦,如果我们借助于电车行驶情况模拟“图”(如右图所示),我们会发现情况相当简单:图中有五个交点,因此从甲站开出的第一辆电车到乙站在途中遇到从乙站开出的电车有五辆.

其实这里的“图”是数学中的图论,它是用一些点表示被研究的一些数学对象,当两个对象之间具有某种关系时,便连成一条线,也成了一个“图”,它在概率论等学科中有很大的用处. 而初中数学中利用图形辅助分析法,最常用的是利用数形结合来达到转化解决问题的角度,如我们在勾股定理、整式的乘法公式等知识学习中已经见识到了运用几何图形的辅助而得到简捷的证明,因此在学生思维过程中能多培养这种意识,对于解决问题,有时能化繁为简,收到了奇特的效果.

例2 已知抛物线的顶点是(-2,2),它与x轴的两个交点间的距离是8,求这个二次函数的解析式.

在这个问题中学生往往会利用二次函数的顶点式,通过解与x轴的交点的坐标的方法,列出方程,再求出二次项的系数a,但是这种方法的计算量比较大,一疏忽容易出错. 如果我们考虑二次函数的性质,结合图象来解决,十分方便. 我们知道顶点是抛物线与对称轴的交点,因此该抛物线的对称轴是直线x=-2,由抛物线的对称性可以求出抛物线与x轴的交点坐标分别为(-6,0)、(2,0),再将其中的一个坐标代入顶点式就可以很简单地求出a=-0.125,从而求出这个二次函数的解析式.

4 利用“联想”法

联想是指由当前感知的事物特征回忆起有关另一事物相似、相近或相同特征的心理现象. 联想可以沟通数学对象中未知与已知、新与旧知识间的联系,它不仅对掌握数学知识,发展思维能力有积极意义,而且有利于提高解题速度,提高解题能力.

(2009年鄂州中考试题)把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图象的解析式是y=x2-3x+5,则a+b+c=[CD#3].

这是考查二次函数的平移问题,我们一般的思路是运用逆向思维法,将后已知的抛物线倒推回去,即由抛物线y=x2-3x+5的顶点(3-2,11/4)先向上平移2个单位,再向左平移3个单位得到抛物线y=ax2+bx+c,所以抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-3-2,19/4),由抛物线的顶点式就可以求出解析式为y=x2+3x+7,所以a+b+c的值就等于11. 然而本题根据要求代数式的结构特点可以联想到a+b+c的值就是当x=1时函数的值,因此就有巧妙的解决方法.

我们设x=1时函数的值为k,则有a+b+c=k,点(1,k)就是抛物线上的一点,所以把抛物线平移时该点也相应进行了平移,经过平移后该点的坐标对应为(4,k-2),而该点在抛物线y=x2-3x+5上,代入得k-2=42-3×4+5,所以得k=11,即a+b+c=11.

综上所述,当我们在解决一个问题时遇到问题后,要及时回顾原来的解题思路,认真查找碰壁的原因:是没有看清知识点呢?还是没有找准关键点,特别是解决问题的方法比较繁、难时一定要认真思考是否还有别的方法,当你能从上面的解法中领悟出,并且能适当地运用时,你的解决问题的能力已经得到了提高,学习也会变得其乐无穷了.