幂级数的求和方法

摘要: 本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。

Abstract: By means of the relevant knowledge from the advanced mathematics, some general summation method and techniques of power series are introduced in this paper.

关键词: 幂级数;收敛区间;求和

Key words: power series; convergence interval; summation

中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)26-0202-01

0引言

幂级数ax的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧性。下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。

1计算部分和的极限

根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。对于幂级数ax,设前项和为s(x),则s(x)=s(x)

例1求幂级数nx(x

解:记部分和s(x)=kx,则xs(x)=kx,s(x)-xs(x)=-nx,s(x)=-x,因为x

2逐项微分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式

s′(x)=ax′=ax′=nax

通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,再积分即可。

例2在区间(-1,1)内求幂级数x的和函数,并由此计算级数的和

解:设和函数为s(x),则s(x)=x=x+x

x=,设s(x)=x,逐项求导得

s(x)=x=

两边积分s(x)dx=dx=-ln(1-x)=s1(x)

所以s(x)=-ln(1-x)

令得x=得=s=-ln1-=1+ln2

3逐项积分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式

s(x)dx=axdx=axdx=x

通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,再求导即可。

例3求幂级数(n+1)2xn (x

解:设s(x)=(n+1)2xn,两边积分

s(x)dx=(n+1)xdx=(n+1)2xdx=(n+1)x

=x(x)=xx=x=

即s(x)dx=

上式两端求导得和函数s(x)= (x

4转化为微分方程

幂级数在收敛区间内其和函数具有任意阶导数。对于有的幂级数在求其和函数时可以先求出幂级数所满足的微分方程及初始条件,再通过解微分方程来求和函数。

例4求幂级数的和函数

解:设s(x)=,则

s′(x)=′=

s″(x)=

以上三式相加得s(x)+s′(x)+s″(x)==e,这是二阶常系数的线性微分方程,且满足初始条件s(0)=1,s′(0)=0,

解此微分方程得s(x)=ecosx+e,(-∞

通过以上介绍的求和方法及具体例子,举一反三,对于这部分内容的学习是很有帮助的。

参考文献:

[1]杨宁,周海东等.西南交大.高等数学(下)[M].成都:西南交通大学出版社,2003.

[2]吴赣昌.高等数学(下)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

[3]毕道旺.无穷级数求和举隅[J].宁波教育学院学报,2009,(4):76-78.