一类积分中递推公式推导例析

摘 要：在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题，与一些计算及应用题相比，推导过程对学生来说不是很简单的问题。但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容。本文给出了几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子。

关键词：积分；递推公式 ；推导

在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题，与一些计算及应用题相比，推导过程对学生来说不是很简单的问题。但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容，也是各种《高等数学》竞赛中经常出现的。而在教学中，由于课堂时间的有限也没法就此问题深入展开。本文给出几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子，希望能够加深学生应用时的印象。

1.导出递推公式In=∫dx（x2+a2）n，其中n为正整数。

解当n=1时，有

 以此作递推公式，则由I1开始可计算出I2…In。也就是把计算In归结为计算In-1继续使用，依次推下去，最后归结为计算I1。这个公式的推导很关键，应用方面较少。

2.导出递推公式In=∫π20cosnxdx，其中n为非负整数。

.

利用上面公式很容易计算出在区间[0，π2]上，函数cosx的各个幂次的定积分问题；当被积函数是sinx时，递推公式In=∫π20sinnxdx，其中n为非负整数，易证计算结果与In=

∫π20cosnxdx相同。可直接利用其结果解题，应用起来非常方便。

因为积分区间关于原点对称，x2arctnx为奇函数cos7x+sin8x，为偶函数，故

解因为积分区间不符合上面的推导公式，先要作变量替换，设2x=t则dx=12dt，当x=0时，t=0；当x=π4时，t=π2

所以，∫π40（cos52xdx=12

∫π20（cos5tdt=12·45·23=·415



上面的定积分问题利用公式计算就显得很简单，但是要是直接计算起来就要麻烦的很多.所以在积分计算中，学会推导并应用递推公式对解题来说非常关键。

参考文献：

[1]吴赣昌主编，微积分（经管类）上册，中国人民大学出版社，2007年第1版.

[2]陈文灯主编，高等数学辅导， 世界图书出版公司北京公司.2006年第3版.