第30讲 抛物线

考情分析

抛物线是三大圆锥曲线之一，由于我们熟知的二次函数图象是抛物线，可以说抛物线是考生学习时间最长，最为了解的圆锥曲线了，很容易结合其它知识综合考查，考题具有很强的灵活性与新颖性.在近几年高考中考查的重点为抛物线的方程，准线及几何性质或与抛物线相关的综合问题（轨迹问题、直线与抛物线综合问题）.选择题、填空题主要考查标准方程、几何性质；解答题则突出对解析几何的思想方法的考查.注意与向量知识、导数知识的交汇考查是高考中的热点.预计在今后高考中客观题主要考查其标准方程和性质，解答题主要有两类：一是轨迹问题，二是直线与抛物线问题.

命题特点

高考抛物线在选填题和解答题中均有出现，每年高考中基本上是一小一大.抛物线在近年高考命题中有以下特点：（1）命题具有非常强的灵活性和新颖性.比如考查抛物线与坐标轴围成的面积的计算，考查抛物线内接正三角形的问题.（2）灵活中强调基础.抛物线的定义及其性质的考查以基础题为主，抛物线的考查通常不会单独命题，大多数是选择题、填空题，属于中难度题，从涉及的知识上讲，常与函数、方程、最值、向量、概率、导数等综合命题.

1. 抛物线的定义及其几何性质是重点

例1 （1）抛物线[y2=4x]的焦点到双曲线[x2-y32=1]的渐近线的距离是 （ ）

A. [12] B. [32]

C. [1] D. [3]

（2）已知抛物线的参数方程为[x=2pt2，y=2pt]（t为参数），其中[p>0]，焦点为[F]，准线为[l].过抛物线上一点[M]作[l]的垂线，垂足为[E].若[|EF|=|MF|]，点[M]的横坐标是3，则[p=] _________.

答案 （1）B （2）2

解析 （1）抛物线的焦点为[F（1，0）]，它到双曲线渐近线[x-3y=0]的距离为[3-01+3=32].

（2）消去参数[t]得，抛物线方程为[y2=2px]，准线方程为[x=-p2]，因[M]为抛物线上一点，所以由抛物线定义知，[MF=ME]，又[MF=EF]，所以三角形[MEF]为等边三角形.

则[EF=MF=2p=3-（-p2）=3+p2]，解得，[p=2].

点拨 解决抛物线的相关问题时，要善于运用抛物线的定义：[PF=d].这种“化斜为直”的转化方法非常有效，如果题目中包含抛物线与其它圆锥曲线（双曲线或椭圆）时，抓住圆锥曲线的基本定义是关键，要注意领会和运用.求抛物线方程时：（1）若由已知条件可得所求曲线是抛物线，一般直接用待定系数法.用待定系数法时既要定位（即确定开口方向），又要定量（即确定参数[p]的值）.关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解.（2）若由已知条件可得所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法.

2. 直线与抛物线的位置关系是热点

例2 过抛物线[E：x2=2py（p>0）]的焦点[F]作斜率分别为[k1，k2]的两条不同的直线[l1，l2]，且[k1+k2=2]，[l1与E]相交于点[A，B]，[l2与E]相交于点[C，D].以[AB，CD]为直径的圆[M]，圆[N（M，N为圆心）]的公共弦所在的直线记为[l].

（1）若[k1>0，k2>0]，证明：[FM・FN

（2）若点[M]到直线[l]的距离的最小值为[755]，求抛物线[E]的方程.

解析 （1）由题意知，抛物线[E]的焦点为[F（0，p2）]，

直线[l1]的方程为[y=k1x+p2]，

联立得，[x2-2pk1x-p2=0]，

设[A（x1，y1），B（x2，y2），]则[x1+x2=2pk1，][y1+y2=2pk12+p].

所以点[M]的坐标为[（pk1，pk12+p2）]，[FM=（pk1，pk12）].

同理可得[N]的坐标为[（pk2，pk22+p2）]，[FN=（pk2，pk22）]

[FM・FN][=p2（k1k2+k12k22）]，

由题意知，[k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2].

所以[0

（2）由抛物线的定义得[FA=y1+p2]，[FB=y2+p2]，

所以[AB=y1+y2+p=2pk12+2p]，

故圆[M]的半径为[pk12+p].

故圆[M]的方程为[（x-pk1）2+（y-pk12-p2）2=][（pk12+p）2.]

化简得，[x2+y2-2pk1x-p（2k12+1）y-34p2=0].

同理可得，圆[N]的方程为

[x2+y2-2pk2x-p（2k22+1）y-34p2=0].

故圆[M]与圆[N]的公共弦所在直线[l]的方程为

[（k2-k1）x+（k22-k12）y=0].

又[k1+k2=2，k1≠k2]，则直线[l]的方程为[x+2y=0].

因为[p>0]，

所以点[M]到直线[l]的距离[d=p[2（k1+14）2+78]5].

故当[k1=-14]时，[d]取最小值[7p85].

由题意知， [7p85=755]得[p=8].

故所求抛物线[E]的方程为[x2=16y].

点拨 以抛物线载体的综合题，一般给出的条件较多，涉及的知识较多，使考生在心理上产生压力.做此类型题时切不可盲目动笔，一定要利用解析几何的思想冷静分析.此类型题具有极强的步骤性：（1）首先突破口在于找到与问题有关抛物线的弦，利用直线与抛物线相交，设交点坐标[A（x1，y1），B（x2，y2）]和直线方程.（2）联立方程组，消元.再利用韦达定理，得出两根之和[x1+x2]，[y1+y2]，两根之积[x1・x2]，[y1・y2].（3）利用交点[A，B]与所求问题的联系建立方程，或不等式，进行化简运算.

备考指南

在平时备考训练中既要注意基础，又要拓宽学生思维.既要注意几何性质本性，又要抓运算基本能力，体现数形结合思想.

限时训练

1. 若双曲线[C：2x2-y2=m（m>0）]与抛物线[y2=16x]的准线交于[A，B]两点，且[AB=43]，则[m]的值是 （ ）

A. 116 B. 80 C. 52 D. 20

2. 如果点[P（2，y0）]在以点[F]为焦点的抛物线[y2=4x]上，则[PF=] （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 过抛物线[y2=2px]的焦点[F]作直线[l]交抛物线于[A，B]两点，[O]为坐标原点，则[ABC]为 （ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.不确定 D.钝角三角形

4. 将两个顶点在抛物线[y2=2px（p>0）]上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为[n]，则 （ ）

A. [n=0] B. [n=1]

C. [n=2] D. [n≥3]

5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线[x2=20y]的焦点重合，且其渐近线的方程为[3x±4y=0]，则该双曲线的标准方程为 （ ）

A.[y216-x29=1] B.[x216-y29=1]

C.[y29-x216=1] D.[x29-y216=1]

6. 若抛物线[y=x2]在点[（a，a2）]处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则[a=] （ ）

A.4 B.±4 C.8 D.±8

7. 已知点[P]在抛物线[x2=4y]上，且点[P]到[x]轴的距离与点[P]到此抛物线的焦点的距离之比为1[∶]3，则点[P]到[x]轴的距离是 （ ）

A. [14] B. [12] C. 1 D. 2

8. 如图，设抛物线[y=-x2+1]的顶点为[A]，与[x]轴正半轴的交点为[B]，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为[M]，随机往[M内投一点P]，则点[P]落在[AOB]内的概率是 （ ）

A. [56] B. [45]

C. [34] D. [23]

9. 设抛物线[x2=12y]的焦点为[F]，经过点[P（2，1）]的直线l与抛物线相交于[A，B]两点，又知点[P]恰为[AB]的中点，则[AF+BF]等于 （ ）

A.6 B.8

C.9 D.10

10.点[P]是抛物线[y2=4x]上一动点，则点[P]到点[A（0，-1）]的距离与到直线[x=-1]的距离和的最小值是 （ ）

A. [5] B. [3]

C. [2] D. [2]

11. 已知抛物线[y2=2px（p>0）]上一点[M（1，m）]到其焦点[F]的距离为5，该抛物线的顶点到直线[MF]的距离为[d]，则[d]的值为_________.

12. 已知抛物线[y2=2px（p>0）]上一点[M（1，m）（m>0）]到其焦点[F]的距离为5，该抛物线的顶点在直线[MF]上的射影为点[P]，则点P的坐标为________.

13. 过抛物线[x2=2py（p>0）]的焦点[F]作倾斜角[30°]的直线，与抛物线交于[A，B]两点（点[A在y]轴左侧），则[AFBF]的值是___________.

14. 已知点[A]是抛物线[C1：y2=2px（p>0）]与双曲线[C2：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的一条渐近线的交点，若点[A]到抛物线[C1]的准线的距离为[p]，则双曲线的离心率等于_________

15. 己知抛物线[y2=4x]的焦点为[F]，若点[A，B]是该抛物线上的点，[∠AFB=π2]，线段[AB]的中点[M]在抛物线的准线上的射影为[N]，则[MNAB]的最大值.

16. 已知直线[l]与抛物线[x2=4y]相交于[A，B]两点，且与圆[（y-1）2+x2=1]相切.

（1）求直线[l]在[y]轴上截距的取值范围；

（2）设[F]是抛物线的焦点，且[FA・FB=0]，求直线[l]的方程.

17. 已知抛物线[C：x2=4y]，过点[A（0，a）]（其中[a]为正常数）任意作一条直线[l]交抛物线[C]于[M，N]两点，[O]为坐标原点.

（1）求[OM?ON]的值；

（2）过[M，N]分别作抛物线[C]的切线[l1，l2]，探求[l1]与[l2]的交点是否在定直线上，证明你的结论.

18. 已知抛物线[C：x2=2py（p>0）]，定点[M（0，5）]，直线[l：y=p2]与[y]轴交于点[F，O]为原点，若以[OM]为直径的圆恰好过[l]与抛物线[C]的交点.

（1）求抛物线[C]的方程；

（2）过点[M]作直线交抛物线[C于A，B]两点，连[AF，BF]延长交抛物线分别于[A，B]，求证： 抛物线[C]分别过[A，B]两点的切线的交点[Q]在一条定直线上运动.