环Fp+uFp+…+uk―1Fp上(1―u)常循环码的深度谱

摘 要 本文研究环Fp+uFp+…+uk-1Fp上长为n（这里p n）的（1-u）常循环码的生成多项式. 基于差分运算的线性性质及环Fp+uFp+…+uk-1Fp上（1-u）循环码的结构，给出其上（1-u）常循环码的深度谱.

关键词 有限链环；常循环码；深度谱；深度分布

中图分类号 O157.4文献标识码 A文章编号 10002537（2016）06008504

The Depth Spectrum for （1-u）Constacyclic Codes over Fp+uFp+…uk-1Fp

ZHENG Xiying1*， KONG Bo2

（1. Institute of Information Engineering， Huanghe Science and Technology College， Zhengzhou 450063， China；

2. School of Mathematics and Statistics， Henan Institute of Economy， Zhengzhou 450046， China）

Abstract The generator polynomial for （1-u）constacyclic codes of length n over the ring Fp+uFp+…+uk-1Fp is established when p n. In light of the linear property of difference and the structure of （1-u）constacyclic codes over ring Fp+uFp+…+uk-1Fp， the depth spectrum of （1-u）constacyclic codes over the ring is given.

Key words finite chain ring； constacyclic code； depth spectrum； depth distribution

有限环上常循环码理论的研究是目前的热点问题. Etizion[1]把微分运算应用到线性码中，给出了一些码的深度分布. Mitchell[2]用整数值有理多项式的理论给出了二元循环码的深度分布.Luo等[3]利用矩阵理论给出了线性码深度分布的一般计算公式， 给出了有限域上线性码的深度分布和深度谱. 廖群英等[4]给出了两类环上线形码的深度谱和深度分布的计算公式. 石立叶等[5]在研究了四元循环码生成多项式的基础上给出了四元循环码的深度谱. 郑喜英等[6]给出了环Zpm上循环码的深度谱. Chen等[7]给出了环Fpm+uFpm上长为2ps常循环码的结构. 石立叶等[8]用差分运算的线性性质给出了有限域上循环码的深度分布. 施敏加等[9]研究了环Fq+uFq+…us-1Fq上常循环码的结构. Kai等[10]研究了有限环F2+uF2+vF2+uvF2上长为奇数的Fp+uFp+…uk-1Fp常循环码的结构. Chen等[11]研究了有限域上的常循环码的等价性， 并对其上常循环码的生成员进行了刻画. 向跃明等[12]给出了半本元环的一些刻画. 郑喜英等[13]给出了有限链环上循环码的深度分布. 本文的第一部分对环p上常循环码和深度分布及深度谱的概念和性质进行了介绍. 第二部分根据环p上（1-u）常循环码的结构给出了该环上的（1-u）常循环码深度谱.

文中出现的p均是素数，（n，p）=1，环Fp+uFp+…+uk-1Fp均记为R.

1 基本概念

定义1 环R上长为n的线性码是R模Rn的一个加法子模. C为环R上长度为n的线性码，如果c=（c0，c1，…，cn-1）∈C （（1-u）cn-1，c0，c1，…，cn-2）∈C， 则称C为（1-u）常循环码.

本文中的（1-u）常循环码均认为是线性的.

C是环R上长为n的循环码的充分必要条件是C是R[x]/（xn-1）的理想. C是环R上长为n的（1-u）常循环码的充分必要条件是C是R[x]/（xn-1+u）的理想.

如果f（x） |（xn-1）（即存在g（x）使xn-1=f（x）g（x）），记g（x）=（xn-1）/f（x）为f^（x）.如果f（x）|（xn-u+1） （即存在g（x）使xn-u+1=f（x）g（x）），就记g（x）=（xn-u+1）/f（x）为f～（x）.

引理1[9] 设C是环R上长度为n的（1-u）常循环码， 则R[x]中存在两两互素的多项式g0，g1，…，gk， g0g1…gk=xn-1+u， 使得C=（1，u2，…，uk-1k），且|C|=ps，其中s=∑k-1i=0（k-i）deg gi.

下面定义3个线性算子.

（1） x=（x1，x2，…，xn）∈Rn定义x的差分为D（x）=（x2-x1，x3-x2，…xn-xn-1）.约定n=1时D（x）=0. 当1

（2） 对任意多项式l（x）∈R[x]，定义线性算子

Ll（x）：R[x]/（xn-1+u）R[x]/（xn-1+u），

f（x） l（x）f（x） （modxn-1+u）.

（3） 定义截取算子 Γ： RnRn-1，（a0，a1，…an-1） （a1，a2，…an-1）， 那么Γi就是截去前i位保留后n-i位的算子.合并算子Lx-1和Γ，可得 ΓLx-1（a0，a1，…an-1）=（a0-a1，a1-a2，…，an-2-an-1），@然D=-ΓLx-1. 3个算子间的关系如下：

引理2 对任意的非负整数i， 有Di=-ΓiLix-1.

证明同文献[5]引理2.1.

定义2 对向量x=（x0，x1，…，xn-1）∈Rn， 称使Di（x）=0成立的最小非负整数i称为向量x的深度， 记为depth（x）， 否则记x的深度为n.

定义3[3] 设C是环R上长为n的线性码， Di表示码C中深度为i的码字的个数， 则集合{D0，D1，…，Dn}称为码C的深度分布， {i|Di≠0，1≤i≤n}为码C的深度谱，记作Dept（C）. 约定Dept（{0}）=.

引理3 （1） D是从Rn到Rn-1的满线性同态；

（2） 若depth（x）=d>t>0， 则depth（Dt（x））=d-t；

（3） Dept（Rn）={1，2，…，n}.

证 将文献[8]中引理2.5证明中的F换成R即可.

引理4 设C是环R上长为n的码， 记C′=Di（C）是码C通过算子Di在Rn-i中的像， 这里1≤i≤n， 记C″={c∈C| Di（C）=0}，则

Dept（C）=Dept（C″）∪（i+Dept（C′））

证 将文献[5]中定理2.6证明中的F换成R即可.

2 主要结果

定理1 设C=（1）是环R上长为n的（1-u）常循环码且，检验多项式为g1（x）=（x-1）sh1（x）， 其中s≥0且（x-1） h1（x），则C的深度谱为Dept（C）={1，2，…，s，n-t+1，n-t+2，…，n}，这里t=deg（h1（x））.

证 由

C={g（x）1（x）mod（xn-1+u）|g（x）∈R[x]} （1）

可知C是R[x]/（xn-1+u）的理想且在算子Lx-1 之下封闭， 得线性同态

Lsx-1： C C，

g（x）1（x） （x-1）sg（x）1（x）mod（xn-1+u）. （2）

设xn-1+u=（x-1）ef1（x）h1（x），这里（x-1） f1（x）h1（x），可得（x-1）s1（x）=（x-1）ef1（x）， 这里g（x）是R[x]中的任意多项式，则线性映射（2）的像是

Lsx-1（C）={g（x）（x-1）ef1（x）mod（xn-1+u）|g（x）∈R[x]}.

记f′（x）=（x-1）ef1（x），则（2）的像是由f′（x）生成的（1-u）-常循环码， 记为C′， 检验多项式是h1（x），所以C′={g（x）f′（x）mod（xn-1+u）|g（x）∈R[x]}. 因C′的生成多项式是首一的且次数为n-t且dimC′=degh1（x）=t. 则可以将线性映射（2）改为线性满同态

Lsx-1： C C′，

g（x）1（x） （x-1）sg（x）1（x）mod（xn-1+u）. （3）

由于s+t≤n， 即n-s-t≥0，且C′是（1-u）-常循环码.

进一步考虑线性变换

Ln-s-tx-1： C′ C′

g（x）f′（x） （x-1）n-s-tg（x）f′（x）mod（xn-1+u）. （4）

下证Ln-s-tx-1是双射，即证ker Ln-s-tx-1=0. 设（x-1）n-s-tg（x）f′（x）∈ker Ln-s-tx-1，即（x-1）n-s-tg（x）f′（x）0mod（xn-1+u），（xn-1+u）|（x-1）n-s-tg（x）f′（x），而xn-1+u=f′（x）h1（x），所以（x-1）n-s-tg（x）f′（x）∈[h1（x）].由f′（x），（x-1）n-s-t和h1（x）互素， 所以g（x）∈[h1（x）]，即h1（x）|g（x）. 可得线形变换（4）既是单变换也是满变换， 即线形变换（4）是循环码C′上的线性自同构. 合成（3）与（4）， 得线性满同态：

Ln-tx-1： C C′

g（x）1（x） （x-1）n-tg（x）1（x）（modxn-1+u）. （5）

进一步，对C′考虑截取算子，可得下面的线性同构

Γn-t： C′ Rt

（c0，c1，…cn-1） （cn-t，cn-t+1，…，cn-1）. （6）

把（5）与（6）合成可得线性满同态Γn-tLn-tx-1，由引理2可得

Dn-t：CRt

C″={c∈C| Dn-t（c）=0}=

{g（x）1（x）mod（xn-1+u）| Γn-tLn-tx-1g（x）1（x）0mod（xn-1+u）}.（7）

由Γn-tLn-tx-1是由（3） （4）和（6）合成， （4）和（6）都是单射， 所以Γn-tLn-tx-1g（x）1（x）0mod（xn-1+u）当且仅当 Lsx-1g（x）1（x）0mod（xn-1+u）

当且仅当 （x-1）sg（x）1（x）0mod（xn-1+u）.因g（x）1（x）xn-1+u，可得（x-1）sg（x）1（x）∈（g1（x）），又1（x），g1（x）互素，得（x-1）sg（x）∈（g1（x）），又因g1（x）=（x-1）sh1（x）， （x-1） h1（x），所以h1（x）|g（x）.

设g（x）=h1（x）g′（x）， 则C″={g′（x）1（x）h1（x）mod（xn-1+u）|g′（x）∈R[x]}. 所以式（7）的核是（1-u）常循环码C″，它由g″（x）=h1（x）1（x）=（xn-1+u）/（x-1）s生成；由于xn-1+u=（x-1）sg″（x），所以g（x）g″（x）∈C″有Ds（g（x）g″（x））=-ΓsLsx-1（g（x）g″（x））=0.因此Depth（C″）{1，2，…，s}. 反之对任意的1≤i≤s，取（x-1）s-ig″（x）∈C″，同上得Dig（x）g″（x）=0；但Γn-t（（x-1）s-ig″（x））=（x-1）s-1g″（x）是首一的n-1次多项式，因此Di-1（x-1）s-ig″（x）=Γi-1Li-1x-1（x-1）s-ig″（x）≠0. 故i∈Dept（C″）. C上可得Dept（C″）={1，2，…，s}. 因Dn-t：CRt是线性满同态， 由引理4，可得

Dept（C）=Dept（Ker（Dn-t））∪（n-t+Dept（lmf（Dn-t））.

Dept（C）=Dept（C″）∪（n-t+Dept（Rt））={1，2，…，s}∪{n-t+1，n-t+2，…，n}={1，2，…，s，n-t+1，n-t+2，…，n}.

定理2 设Cλ=（uλ-1gλ）是环R上长为n的（1-u）常循环码，这里λ=2，…，k，Cλ的检验多项式为hλ（x）=（x-1）sλh′λ（x），其中sλ≥0且（x-1） h′λ（x），则Cλ的深度谱为

Dept（Cλ）={1，2，…，sλ，n-m+1，n-m+2，…，n}，这里m=deg（h′l（x））.

证 先定义一个映射μλ：R[x]Rk-λ[x]将r映成r+（uk-λ），x映成x.令C′λ=（μλ-1（gλ）），故C′l是R/（uk-λ+1）上的（1-u）常循环码.做映射：Cλ C′λ，（g（x）・uλ-1gλ（x））=μλ-1（g（x））μλ-1（gλ（x）），是同态.又|Cλ|=|C′λ|，所以是从Cλ到C′λ的同构映射.c1∈C′λ，Di（c1）=[0n-i]当且仅当Di（-1（c1））=[0n-i]，所以Cλ和C′λ具有相同的深度分布.易证C′λ的检验多项式为μλ-1（hλ（x））=μλ-1（（x-1）sλ）μλ-1（h′λ（x））.由定理1得，C′λ的深度谱为Dept（Cλ）={1，2，…，sl，n-m+1，n-m+2，…，n}.

根据定理1，2可得下面的定理：

定理3 设C是环R上长度为n的（1-u）常循环码， 则存在两两互素的多项式g0，g1，…，gk∈R[x]， 使得C=（1，u2，…，uk-1k），且|C|=ps，这里s=∑k-1i=0（k-i）deg gi，g0g1…gk=xn-1+u， deg（i）=n-mi，i=1，2，…，k.若（x-1）si|i，但（x-1）si+1 i， 则码C至少有m1+m2+…+mk个深度值，其深度谱为多重集

{1，2，…，s1，n-（m1-s1）+1，n-（m1-s1）+2，…，n；…；

1，2，…，sk，n-（mk-sk）+1，n-（mk-sk）+2，…，n}

证 只要对数的大小进行比较，去掉重复的值即可.由引理1可知，C=（1）（u2）…（uk-1k））.设Ci=（ui-1i）这里i=1，2，…，k.根据定理1、2可得dept（Ci）={1，2，…，s1，n-（m1-s1）+1，n-（m1-s1）+2，…，n；…}.c∈C，存在li（x）∈R[x]，使得c（x）=∑ki=1i（x）li（x）.令ci=ui-1i（x）li（x），i=1，2，…，k，所以ci∈Ci，由Depth（c）=max（Depth（ci）），得Dept（C）Dept（C1）∪Dept（C2）∪…∪Dept（Ct）.显然反包含也是成立的，即Dept（C）=Dept（C1）∪Dept（C2）∪…∪Dept（Ct）.

综上可得，环R长为n的（1-u）常循环码的深度谱为集合

{1，2，…，s1，n-（m1-s1）+1，n-（m1-s1）+2，…，n；…；

1，2，…，sk，n-（mk-sk）+1，n-（mk-sk）+2，…，n}.

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