借助数学函数思想解决几道典型物理问题

近几年高三物理复习中经常会遇到一些问题上手容易，但处理起来比较繁琐，特别是一些极值问题和寻找物理量的动态变化问题.如果采用数学函数思想，会避免物理模型的建立，解题过程会截然不同，有时可达到“巧解”的目的，借助下面的例题来作体会.

例1 物块静止在相距定滑轮很远处的粗糙水平面上，一轻绳通过定滑轮拉着物块向右做匀速直线运动（图1），试分析物块从很远处运动到接近滑轮定滑轮正下方的过程中，绳子拉力的变化情况.

α是一锐角，θ的变化范围0～90°（θ-α）的变化范围为（90°-α）-α，可知cos（θ-α）先变大后变小，因此F的值先变小后变大.

点评 求解物理量的变化情况，写出其表达式利用函数思想分析，学生更容易上手，且学生有一定的数学基础，足以能够分析出结论.

例2 小船渡河模型中，要求小船以最短位移渡河，学生很容易想到：调整船头方向，使合速度方向正对河岸，这样位移最短，如图3所示.但这需要船在静水中的速度v1大于水流速度v2，那么如果v1

解析 此时，船的实际运动轨迹不可避免会往下游偏，为使位移最短，船要尽可能少往下游偏，也就是说船的合速度方向与河岸的夹角α要最大，这就把物理问题转化为数学上的求极值问题.如图4，利用正弦定理有

当β=90°时sinα的值最大为v1v2，也就是说调整船头方向使之与合速度方向垂直时，此时合速度方向与河岸的夹角α最大.

点评 老师在课堂上讲解此问题时多采用的是作图法，让学生从多幅图中寻找极值，这对学生的的观察分析能力提出了更高的要求.而使用正弦定理写出方程来分析极值，相对比较容易入手，有点水到渠成的意味.

近几年来，全国各省份高考出现了在某个曲面上的平抛运动，如2011年河南卷的第15题是在圆弧曲面上的平抛运动；2012年全国卷第26题是落地点在呈抛物线的曲面上的平抛运动.针对以上题目采用解方程组来求两函数图象交点的思想来解题显得更加方便.以2012年全国卷第26题来说明.

例题3 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面.如图5所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=12hx2，探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解析 针对此题的第一问，只要能求出探险队员下落的高度，就可以利用动能定理来求解其落地时所具有的动能.以抛出点为圆心建立坐标系.此时，曲面的函数方程为

点评 把物理中求解物体下落的高度转化为求解数学坐标系中的纵坐标，这就降低了对学生的物理思维要求，而通过方程组求两函数的交点在数学学习中应该不属于难点.

在平时的解题训练中不仅要强调一些常见物理问题一般解题思路，在可能的情况下多引导学生使用数学方法，强调解题方法的多样化以达到成功解题的目的.