基于Logistic混沌系统与魔方变换的图像加密方案

摘 要： 设计了一种基于logistic映射与魔方变换的图像加密方案。该方案采用改进的混沌序列二值化方法，并借用魔方变换的思想，将二值序列转换所得的整数序列与图像像素值运算后，对图像的行列分别作循环移位完成对图像的加密。实验结果分析表明，该加密方案具有良好的图像加密效果，对于常见的攻击具有较强的抗干扰能力。

关键词： Logistic映射； 混沌系统； 魔方变换； 图像加密

中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2012）11-12-04

Scheme of image encryption based on logistic chaos system and magic cube transformation

Dong HuSheng， Lu Ping

（Dept. of Information， SuZhou Institute of Trade & Commerce， Suzhou， Jiangsu 215009， China）

Abstract： An image encryption algorithm based on logistic map and magic cube transformation is proposed. The encryption scheme adopts an improved chaotic sequence binarization method and the idea of magic cube transformation. Values of Image's pixels are changed by the operation with integers acquired by binary sequence first， and then image is scrambled by cyclic shift of rows and columns. Experimental results show that the algorithm has good encryption performance and fine anti-attack capability.

Key words： logistic map； chaos system； magic cube transformation； image encryption

0 引言

在信息技术飞速发展的今天，大量的数字媒体信息通过互联网方便快捷地与传播，这在给人们带来方便的同时也存在着许多安全隐患。数字媒体信息由于其自身特点极易被复制、篡改与存储，使得数字信息传输中的安全问题显得越来越重要。为了保证图像数据在传输中的安全，广泛应用了图像加密与置乱技术。由于传统的加密技术将图像作为一般数据流处理，不考虑其多媒体特性，使得其在应用中存在诸多缺陷[1]，为此，人们不得不探索更为优秀的加密系统。近年来，越来越多的学者开始使用混沌系统对图像进行加密[2-5]。文献[2]采用Logistic混沌序列在DCT域对图像完成了加密处理。文献[3]采用混合混沌系统生成了分布特性更为优良的混沌序列对图像加密。文献[4，5]在对图像的加密中使用三维或更高维的超混沌系统。

本文设计了一种基于Logistic混沌系统与魔方变换思想的图像加密方案。在采用改进的 Logistic混沌系统的二值序列获取方法后，生成的二值序列具有更优秀的分布特性。该加密方案在利用混沌序列与图像的像素值运算后，再作魔方旋转置乱完成对图像的加密。实验证明该加密方案算法简单、运算量低，具有优秀的图像加密效果。

1 Logistic混沌系统

混沌现象最早由美国气象学家Lorenz在研究模拟天气预报时发现，为非线性动力系统的一种确定性的、类似随机的过程，其不存在重复的周期也不发生收敛，在系统初始值微小变化的情况下将生成截然不同的结果，即对初始值“敏感”。利用混沌系统的这些特性，仅需使用少数的密钥即可通过迭代生成数量众多、不相关、类随机且可再生的混沌序列。迄今为止，人们已经发现多种具有混沌特性的系统，从简单的一维系统到高维的超混沌系统在图像加密中均有应用。由于高维的混沌系统构造相对复杂，因此实际应用中大量使用的是一维混沌系统。

一维离散时间非线性动力系统的定义：

xk+1=τ（xk） ⑴

其中，xk∈V，k=0，1，2，…称为状态，τVV为一映射，将当前状态xk映射到下一状态xk+1。确定初值x0后通过迭代，则可获得序列X={xk|k=0，1，2，…}，该序列即该离散时间动力系统的一条轨迹。

1.1 Logistic映射

Logistic映射是一种被广泛使用的一维混沌序列生成器，其结构较为简单，表示为：

xk+1=μxk（1-xk） ⑵

其中xk为映射变量，μ为分支参量。当μ∈[3.569945972，4]、xk∈（0，1）时，Logistic映射工作于混沌状态。由不同的初始值x0所获取的序列X={xk，k=0，1，2，…}具有非周期性及不收敛的特征，且对初始值非常敏感。随着μ的增加，系统将不断经历倍周期分叉，当μ达到3.569945972时，系统进入混沌状态，当2.6≤μ≤4时绘制出的Logistic映射倍周期分岔图如图1所示。

图1 Logistic映射倍周期分岔图

当μ=4时，由Logistic映射生成的混沌序列的概率分布函数为：

⑶

通过ρ（x）可获得Logistic映射所产生的混沌序列的一些重要的统计特性。其中混沌序列轨迹点的均值为：

⑷

选择两个不同的初始值x0与y0通过迭代生成不同的序列，计算序列的相关性函数如下：