关于“同位角、内错角和同旁内角”教学的几点思考

【摘要】在“同位角、内错角和同旁内角”的教学中，坚持两“线”齐抓，即一方面以“构成角的明线”为突破口，通过线的变化理清知识脉络，借助线的本质属性剖析突破教学难点；另一方面，以“能力暗线”为抓手，把能力培养有机地融于教学各环节之中，力求“润物细无声”之妙，则必然能起到事半功倍之效，极大地提高课堂效率.

【关键词】三线八角；教学难点；观察能力

“同位角、内错角和同旁内角”是建立在“两线四角”基础上，着重研究“三线八角”中非共顶点角的位置关系，既是对“对顶角与邻补角”的应用与延伸，又为学习平行线的判定和性质作好铺垫，并为今后进一步解决线的平行与角的相等问题奠定了基础.因此，它是初中几何入门教学中非常重要的一节，不仅肩负着保护好学生初学几何的好奇心与热情之重任，而且对培养学生学习几何的良好思维习惯和几何图形观察能力也有举足轻重之举，理当引起高度重视.下面笔者基于多年的学习经验与教学实践，从如何深入剖析教材和科学安排上谈几点体会，以求抛砖引玉.

1以“线”为线，理清知识脉络

本节虽然研究的是角但关键在于线，因此从线入手，通过线的变化，把旧知复习、新知学习与能力培养有机地串为一体（如图1），可起到事半功倍之效.

在图1中，首先由图1①复习“对顶角和邻补角”的概念与性质，然后增加直线c得图1②构造“三线八角”依次引入“同位角、内错角和同旁内角”的概念，明确“三线八角”中有“四对同位角、两对内错角和两对同旁内角”基本事实；而图1③、图1④和图1⑤则通过增加交点或增线减线，加强“由线找角”（确定被截线与截线后找出所有同位角、内错角和同旁内角）和“由角找线”（确定相关角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成）的练习，在巩固新知的同时，突出对学生几何图形观察能力的培养.具体操作时不妨从正反两方面入手，先让学生找出各图中所有“同位角、内错角和同旁内角”（其关键是明确哪两条直线被哪一条直线所截且共有多少种情形），再从中挑出一些有代表性的同位角、内错角或同旁内角，让学生说明其构成的被截线与截线.当然，不同图形的侧重点可有所不同，如图1④主要训练学生从复杂图形中抽取基本图形的观察与分析能力，图1⑤则通过对交点处角的减少，打破学生对图1②的思维定势，提升灵活处理问题的应变能力.

当然，图1的意义不仅仅在于通过线的变化“串活”了课堂，关键还在于为学生理清了知识脉络，形成了系统化导学图.面对图1，学生知道要学什么和学会什么，更易理清各知识点之间的联系与区别，并可顺势依据线的变化对内容作进一步的拓展与探究，以提升自己的发展性学力.

2以“线”为本，突破教学难点

在复杂图形中如何判断两角的类别（是否为同位角、内错角或同旁内角）是本节的一大难点，对此大多数同仁偏爱引导学生从形状着手，通过在图形中画英文字母“F”识别同位角、画英文字母“Z”识别内错角、画英文字母“U”识别同旁内角（如图2）.如此处理虽然直观形象，在一定程度上提升了学生的辨别能力，但由此生成的一些负迁移也不得不引起我们重视，如错把图3中的图3①两角当成一对同位角（因为勾画出的形状太象英文字母“F”了），而又认不出图3②中的内错角（因为勾画出的形状太不象英文字母“Z”了），甚至不相信图3③中的两角是同旁内角（因为勾画出的形状显然不是英文字母“U”）.究其根源主要是以英文字母对号入座的识别方法有点过于注重表象而忽视本质的剖析，导致学生依葫芦画瓢时产生认知偏差而出错.笔者的教学体会是务必以“线”为本从概念剖析入手，即先明确构成两角的边所在的直线中哪两条是被截线哪一条是截线，再依据定义逐一判断.具体地说就是先找出组成两角的四条边，确定有没有两条边所在的直线共线，若有，则共线直线就是截线，另两条边所在的直线是被截线，然后依据定义再判定两角究竟是同位角、内错角还是同旁内角就易如反掌了；若没有任何两边所在的直线共线，则此两角就不可能是三类角中的任何一个（如图3中的①）.上述透过现象看本质的处理方法不仅为学生识别两角类别提供了简易而又科学的操作模式，而且“由角找线”时也多了有效的定线的依据，可谓一箭双雕.

如此处理的优越性还在于为后续学习平行线的判定与性质奠定了坚实的基础.如图4，由∠1=∠2和BD平分∠ABC总有部分学生得出AB∥CD；而由∠1=∠2和AD∥BC也有部分学生得出BD平分∠ADC.进一步调查得知，这都是被字母“Z”过于形象化的结果.学生自以为找到“Z”即可，至于究竟是哪个“Z”就不太在意了（甚至有学生认为“同位角、内错角一定相等”，因为字母“F”与“Z”已深深刻在脑海里，而且是那么的直观、形象与鲜活）.但自从笔者采用以线为本突出概念的教学策略后，学生再也不犯“乱点鸳鸯谱”之错，因为在掌握正确定线（会找被截线与截线）的前提下，在运用平行线的判定和性质定理解决问题时只需强调被截线平行便可一劳永逸了.

3以“观察”为主，突出能力培养

研究“三线八角”除了学习“同位角、内错角和同旁内角”知识外，还要兼顾学生观察能力的培养.因此课堂上可多设计情境放手让学生观察，逐步提练“同位角、内错角和同旁内角”的本质特征，进而生成概念，并会依据概念的本质特征在复杂的图形中找对找全三类角，以力求达到把新知学习与观察能力培养有机地融为一体的教学最高境界.

首先，巧借概念生成，渗透观察意识.在学习同位角时，常规的处理方式是请学生先观察∠1与∠5（如图5）有什么位置特征，再给出定义.但由于缺乏对图形特征观察的认知基础，学生不知从哪些角度去观察，导致观察往往流于形式，概念只能从教师口中“生成”.对此笔者的处理策略是“先入为主”，直接告诉学生：在D5的8个角中，关于非共顶点的两角组合里有一些是同位角，请仔细观察图5并指出哪些角是同位角.先亮出“同位角”名称的意义在于学生可顾名思义得出“同位角就是位置相同的角”，如此一来观察就会有的放矢.当然，经过一番观察、分析和思辨式的讨论，学生得出∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8分别是一对同位角也就水到渠成了，然后再引导学生借助这些角与被截线和截线的位置关系刻画“同位”二字，顺势归纳出“在被截线的同向上截线的同侧的两个角叫做同位角”的概念.毋庸置疑，如此处理不仅使观察落到了实处，而且概念还是学生自己归纳总结的，理解与运用起来当然也就更加得心应手了.

至于内错角（同旁内角）的学习，笔者则是反其道而行之，直接请学生观察∠3与∠5（∠4与∠5）有什么位置特征，并依据位置特征给它们起一个生动形象的名字.有了同位角的学习经验，学生观察出“两角在被截线之间截线两侧（同旁）”的内错角（同旁内角）位置特征已不是难事，虽然命名时未必能给出“内错角（同旁内角）”的完美答案，但通过积极思考，对激发他们学习几何的兴趣和语言表达能力，甚至转变学习方式必然大有裨益.

可喜的是由于放手让学生观察，课堂上总有学生指出“∠1与∠7”和“∠2与∠8”是外错角、“∠1与∠8”和“∠2与∠7”是同旁外角（名称也是学生自己给的）.m然这些内容超出了教材要求，但一方面认识这两个概念对学生理解“内错角”和“同旁内角”有一定的反推作用，另一方面也说明学生的观察意识确实被激活了，高效课堂也就自然生成.

其次，加大本质剖析，纠正观察视角.处理例习题时，无论是“以线找角”还是“以角找线”教师都切忌越俎代庖，一讲到底，要大胆放手让学生观察、放手让学生分析、放手让学生说，针对存在的问题可通过反例引导学生积极反思，透过现象探求问题的本质，直至找到正确的处理方式.如在图形中勾画英文字母（F、Z、U）的做法就只注重了表象，虽然直观且有一定的积极意义，但切不可过度依赖.相反，通过观察构成两角的边是否有两边在同一条直线上来确定截线与被截线的做法才紧扣概念的本质，是理性的观察角度和科学的处理策略，值得推广.

最后，适当增加难度，提升观察能力.鉴于“同位角、内错角和同旁内角”在后续的学习中主要用于判定两线平行或平行下确定两角相等或互补，而且中考对此三类角的考查也未予特别关注，故而不少同仁在不同场合大力倡导教学时不必引入复杂图形，甚至只要学生会处理被截线平行下的相关问题即可.对此一刀切的观点笔者不敢苟同，学生的学习不仅仅在于“应试”或“应对”，更重要的是通过知识载体的学习形成一定的学习能力（如丰富处理问题的应变策略、强化解决问题的科学手段、完善探索问题的思维方式等），而且能力培养不是一蹴而就，需要一个长期的循序渐进过程.因此，在本节学习中，针对学生的认知水平和接受能力，适当引入如图6类的稍复杂图形，引导学生找全找对三类角，不仅对培养学生的观察力大有裨益，而且还为今后处理复杂几何图形问题奠定基础.如此有百利而无一害之事又何乐而不为呢？这也不正是因材施教的魅力之所在吗？

总之，备课时，教师若能做到以上三点，即：针对教学目标要切实理清需要教什么及怎么教、需要学会什么和如何学，并用一根主线把知识串联起来，进行系统化的处理；针对教学难点，能透过现象抓住问题的本质，精心设计而巧妙地突破难点；并能站在能力培养的高度统领教材，灵活处理，大胆地因材施教，则必然能吃透教材，得心应手地驾驭教材，并把高效课堂真正地落到实处，从而造福学生.

例题选择：从“浅层练习”走向“深度素养”江苏省苏州市2016年度"十三五"规划课题"基于学生核心素养发展的初中数学思辩课堂的实践与研究"（主持人：范建兵、金鑫）阶段成果.