小学生几何直观能力发展的四个阶段

《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次提出了“几何直观”这一核心概念，并指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”这里的解释并非严格的概念界定，但我们也可以从中把握几个关键特征：其一，几何直观是一种描述和解决数学问题的方法，它与“直观几何”的区别在于，后者是指几何学中的一个研究领域，主要研究包括认识图形、进行立体图形与平面图形的转换等内容。其二，“几何”可以理解为研究工具，即“几何直观”是借助几何图形的形象关系来研究问题的，这就体现了与实物直观（以实物为直观工具，如小棒等）的差异。需要特别指出的是，几何直观研究的对象并不局限于几何学范围，更多的是研究数量之间的关系。其三，“直观”是指研究问题的方式和手段，是指对事物进行的不经过逻辑分析的直接判断。这里包含了两层意思：一是通过对事物的直接接触而获得的感性认识;二是通过直观感知而对事物本质的直接洞察和直接把握。有了以上认识，我们可以进一步分析“几何直观”的能力结构，如下图：

其中，空间想象能力和数形转换能力是“几何直观”的基础层面。“几何直观”以几何图形为研究问题的工具，这就需要对几何图形的特点有准确的认识，并具有较强的空间想象能力。此外，数形转换能力也是几何直观的重要内容，即在符号语言（数）与图式语言（形）之间建立联系，能熟练地进行互译。读图分析能力和画图思考能力是几何直观的表现形式。前者主要体现了借助图形描述数学问题，后前则是借助图形分析和思考数学问题。因而，小学生的几何直观能力必然有一个发生发展的过程。笔者将其大致分为四个阶段：孕育阶段过渡阶段萌发阶段生长阶段，各个阶段培养的侧重点应有所不同。本文试就此问题结合教学实践作一些探讨。

一、孕育阶段――关注直观载体的逐步抽象

“几何直观”能力发展的孕育阶段主要是指小学一、二年级时期。这个阶段的学生以动作思维、形象思维为主，数学学习很大程度上依赖直观教学。但这里的直观教学主要借助实物、图片、符号等直观载体，从严格意义讲还不能称之为几何直观（以几何图形的形象关系为直观载体）。因而适当进行抽象和提炼，由实物、符号直观逐步向图形直观过渡是很有必要的。如人教版一下“100以内数的认识”教学中，教材上借助回形针、小棒、第纳斯木块等实物帮助学生认识数的组成、理解计数单位（图1）。

图1

这是以实物为直观载体来认识数学对象，我们可以称之为实物直观。从几何直观的角度看，这三种实物中哪一种最具价值？我们不妨做一个比较：用回形针计数，“10个回形针一小堆”“100个回形针一大堆”分别对应计数单位“十”和“百”;用小棒计数，则是“10根一小捆” “100根一大捆”;用第纳斯木块计数， 1个小木块对应“一”，10个小方块排成一行对应“十”，而10行拼成一片对应“百”。如果仅从促进本课时知识内容的理解来看，三者差异并不大，但是从后续发展来看显然第纳斯木块更有价值。因为尽管在这里小木块只是作为实物呈现，但它的构建方式具备了“点―线―面”的几何图形特征，并为进一步认识“千”（体）积累了直观经验（如图2）。这样的构造系列更有利于帮助学生建立计数单位与几何模型之间的关联，从而促进学生几何直观能力的发展。

图2

二、过渡阶段――关注几何活动经验的积累

直观是对事物的直接判断，是属于经验层面的。从某种意义上说，“几何直观”就是数学活动经验不断积累所形成的数学素养。数学基本活动经验主要包括两个方面，即实践的经验和思维的经验，两者均有赖于学生参与数学活动，获得切身的过程性体验。小学阶段的几何课程以直观几何、实验几何为主，包括通过直观感知认识各种图形的特征，进行立体图形与平面图形的转换等。其中，平面图形的认识大部分编排在三、四年级，如线段、直线、射线、角、多边形（正方形、长方形、平行四边形、梯形、三角形等），我们将这一阶段称之为几何直观能力发展的过渡阶段。教学中，一方面要重视开展“看一看、做一做、拼一拼、搭一搭、折一折、画一画”等实践活动，积累实践经验，另一方面更要重视反思和提炼，逐步将实践经验上升为思维经验。以“三角形的内角和”教学为例：

一般来说，探究三角形内角和的方法有以下几种：

（1）度量三个内角的度数，求和;

（2）把三个内角撕下来再拼成一个平角（图3）;

（3）通过折纸，把三个内角向内折叠拼成一个平角（图4）;

图3

图4

显然，这三种探索的方法都是基于实践操作的，探究过程远不如几何推理那么严密（存在操作的误差性）。但就小学阶段而言，笔者认为还是应该强调动手实践。它的价值不在于结果，而在于过程，在于实践活动中所积累的活动经验和获得的直观体验。在此基础上，我们可以进一步对这三种方法的思维方式进行沟通，即想方设法将三个内角拼起来，体现出“求和”的思想。这样，实践的经验上升为思维的经验，为初中阶段的演绎几何（图5）奠定基础。

图5

三、萌发阶段――关注几何直观意识的培养

一般来说进入第二学段――小学四年级，小学生的几何直观能力进入了萌发阶段。这是因为一方面学生开始具备一定的几何知识基础;另一方面数学学习内容的抽象程度逐步提升，越来越需要借助直观形象的手段来提供支撑。由于简洁表达的需要，这时的直观载体逐步由实物变为图形，初步呈现出几何直观的特点。这个阶段尤其要注重培养学生几何直观的意识，也就是说要促使学生在理解数学知识和解决数学问题时主动地与几何图形建立联系。意识的培养取决于价值的认同。教学中教师可以积极引导，让学生不断体验几何直观的价值和作用。

如“异分母分数加、减法”教学中，计算“+”，一般会出现以下情况：

（1）+=;（2）+=+=;（3）+=0.5+0.4=0.9。

在这里，理解为什么必须先通分才能相加是教学的关键，直指分数加、减法也是“相同计数单位累加”的数学本质。我们可以借助“分数墙”（图6）这一几何模型进行解释。

从图中我们可以很明显地看出，由于每一份大小不同，不同的分数单位是不能直接累加的。进一步引导学生从图上寻找与和相等的分数（等价类分数），发现1个相当于5个，2个相当于4个，由于每一份的大小相同，相同的分数单位可以进行累加，得到9个。而转化为小数进行计算，其原理是与通分一致的。

图6

四、生长阶段――关注数形之间的转换训练

五、六年级学生几何直观能力的发展进入了生长期。几何直观能力的发展要求学生具备较强的数形转换能力。数形转换，也就是数与形之间的互译，即能从数（式）想到图式，能从图式想到数（式）。教学中一方面教师可以针对具体的教学内容加强图式表征的训练，如“看图写数（式）”“看数（式）画图”等;另一方面也可以开展综合实践活动，培养学生数形转换的能力，感悟数与形的互。如“正方形数”的认识：

呈现图7，首先引导学生观察并思考：这些点子图分别表示哪些数？点子图的排列有什么特征？通过讨论和交流，揭示像这样的数叫“正方形数”。进一步，通过图形操作（分一分、连一连）寻找“正方形数”的数学模型，如表示为“完全平方数n?”;可以表示为从1开始的连续奇数之和：1+3+5+……+n;也可以“回”形构造：例如4+3+3+2+2+1+1;甚至可以表示为两个“三角形数”之和：1+2+3+……+n +……+3+2+1（图8）。

图7

图8

像“三角形数”“正方形数”等都是比较特殊的数，具有明显的图形特征。运用这样的教学素材引导学生感悟数的几何特征，反复进行数（式）与形（构造方式）之间的转换训练，对于发展学生的几何直觉、感悟数形之间的密切关联都是很有价值的。

必须指出，就整体而言，小学生几何直观能力的发展是不平衡的，甚至表现出很大的差异性;就个体而言，其发展过程也不是直线型的。因此，很难作严格意义上的划分。本文所阐述的四个不同的发展阶段也是相对的，没有一个绝对意义上的时间分割点。但是其发生发展的一般规律性还是存在的，针对不同阶段的特点采取相应的培养策略才能事半功倍，这正是本文的用意所在。事实上，基于小学阶段学生的年龄特点和教学内容的局限，几何直观能力在小学阶段还不能完全显现（特别是直观洞察性），但几何基础知识的掌握、几何活动经验的积累、几何直观意识的培养必然能为几何直观水平的发展奠定良好的基础。

（浙江省湖州市凤凰小学 313000）