“化变为恒”和“逆向思维”在求变力做功方法中的应用

高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式W=Fscosθ，如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中θ角就无法取值.因此其公式仅适用于恒力做功过程而变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？

根据维果斯基最近发展区理论，应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验.在求变力做功的教学中，可采用“化变为恒”思想，充分利用恒力做功公式，巧妙运用各种方法求变力做功.具体做法：首先分析变力特点，是大小变化或方向变化，或者大小和方向都变化；其次采用“化变为恒”思想确定恒力（或恒量）；再运用恒力公式求功（或恒量公式求功），然后通过各种方法处理恒力做功（或恒量做功）与变力做功的关系最终求出变力做功.其流程如下：分析变力化变为恒确定恒力恒力做功运用方法变力做功.

根据做功是能量转化的量度，采用“逆向思维”，把能量的变化量等效代换为物体做的功，进而选用合适的功能关系求出变力做功.利用功能关系求变力做功的优点是不考虑做功过程中变力的大小及方向变化的细节，只考虑物体做功的效果――能量变化，解题过程简捷，是求变力做功非常重要的一种方法.其流程如下：能量转化逆向思维恒量做功功能关系变力做功.

综上所述，从做功和能量角度求变力做功是学生必须掌握的两种思维.本文从做功和能量角度阐述“化变为恒”和“逆向思维”在求变力做功方法中的应用.

1 做功角度

1.1 微元法

如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨.假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将圆周分成无限个小段Δs1，Δs2，Δs3，…，每一小段弧长可以认为等于对应的弦，力F的方向也近似与这一小段的弧长重合，则每小段均可看作恒力做功过程.因此可先分段计算极短位移内恒力做功再求和，从而求出变力F做的功，这就是微元法.

首先运用恒力做功的计算式求出各小段推力做的功

1.2 转换研究对象法

如图2所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功.

解析 物块受到的拉力是大小恒定，但与水平方向的夹角逐渐增大，属于变力.运用“化变为恒”思想，可将此变力做功转化为恒力做功问题.因为物体在水平运动过程中绳的拉力F对物体做的功等效于恒力F作用在绳端所做的功.这就是转化研究对象法.

1.3 平均值法

如图3所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的物体连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉物体，使物体前进x，求这一过程中拉力对物体做了多少功？

解析 用水平力缓慢拉物体，物体处于动态平衡，拉力大小时刻变化并且等于弹簧弹力大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力作用点的位移x（等于弹簧的伸长量）成正比，即：F=kx.类比匀变速直线运动中“化变为恒”思想，可用平均值代替线性变化量.因而方向不变大小与位移成线性关系的力所做的功，可用平均值法求功.

1.4 图象法

静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动（如图4甲所示），拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系（如图4乙所示），图线为半圆.则小物块运动到x0处时的动能为

解析 F-x图象是一条半圆弧线，运用微元法解释，图线与横轴位移x所包围的面积.把位移x平均分成n等分.设每一分为Δx，可见n越大Δx越小.在极短位移内F可以看做恒力，此时F与Δx的乘积在图象上反映出来就是一个个小矩形，若位移趋于零，最终所有小矩形面积和逼近图线与横轴位移所包围的面积.通过求半圆面积可知正确选项为C.

1.5 功率法

对于机车启动问题有两种模型.模型一：恒定功率启动，牵引力一般经历先变小后不变的过程，若求此过程牵引力做功，可采用化变力做功为恒定功率做功思想，运用功率恒定求功即W=Pt.模型二：恒定加速度启动，牵引力一般经历先不变再变小最后不变的过程，若求加速度恒定阶段牵引力做功，可采用恒力做功也可采用平均功率求功，因为加速度恒定阶段中功率与时间成线性关系，因而可采用平均值法求功.这里体现了“化变为恒”思想中化变力做功为恒定功率做功的功率法.

2 能量角度

2.1 动能定理法

如图5所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为

解析 用F缓慢地拉，小球处于动态平衡状态，则力F=mgtanθ，显然F为变力，只能从能量角度出发，可用动能定理求解.F做的功等于该过程克服重力做的功.

2.2 功能原理法

在足球比赛中，甲队队员在乙队附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着门射入，如图6所示，已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，不计空气阻力和足球的大小，求：该队员对足球的做功？

解析 人作用在球上的力是变力，而且人对球做功是一个非常复杂的过程，由于不涉及做功过程，只能从能量角度出发，可用功能原理，即外力做的功等于物体机械能的增量，只需计算出球踢出后机械能变化量即可求出人对球做的功.

3 做功与能量角度

动能定理是在物体受恒力的作用，并且做直线运动的情况下推导的.能否从理论上探究，当物体受变力作用或曲线运动时，动能定理同样适用.

如图7所示，物体的质量为m，静止在光滑水平地面上，在水平力F大小时刻发生变化的作用下发生一段位移x，速度为v，求变力F做的功W？

解析 从做功角度采用“化变为恒”思想，把位移x分成n段，则极短位移内F可看成恒力，做功可用恒力公式求；从能量角度运用动能定理法，分n段列式.最后求和，理论推导出动能定理适用变力或曲线中.

力对物体做功问题的求解，是高中阶段的一个学习主线.这里从做功角度出发，采用“化变为恒”思想，阐述了微元法、转换研究对象法、平均值法、图象法等在处理恒力做功与变力做功的关系中的应用.从能量角度出发阐述了动能定理法、功能原理法在处理能量变化量与物体做功的关系中的应用.以理论为指导，方法为主线串接了求变力做功的知识网络，帮助学生形成稳定的知识框架.