时间：2022-10-12 10:28:58
【摘要】过椭圆外一点N作直线L，与椭圆相交于A、B两点，已知NA=λNB给出入的范围，如何求直线L的斜率k的取值范围？
只要我们紧密围绕已知条件分析，全方位探索解决问题的途径，及时抓住推理过程中出现的蛛丝马迹，就会找到解决问题的方法.从各种不同的角度入手，抓住机会深入研究和探讨，就能找到解决这一问题的多种方法。
【关键词】直线；椭圆 ； 准线 ； 直线方程和椭圆方程联立；韦达定理；单调递减函数 在解析几何中，直线与圆锥曲线相交，可以生成许多数学问题，当直线和圆锥曲线相交时，借助于已知中的向量等式求参数的范围，是摆在我们面前的难题.这类题我们经常会遇到，是非常典型的一类题型，在高中数学课程中既是重点又是难点。
下面以直线与椭圆相交为例，详细阐述解决这类题型的一些常用方法以及解题过程中所包含的技巧.
例已知F1、 F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N.直线l过点N与椭圆C相交于A、B两点，并且满足NA=λNB，当λ∈[15，13]时，求直线l的斜率k的取值范围.
解：根据已知，得
a=2b=1c=1
左准线方程为： x=-2 ，点N坐标为（-2，0）
设直线l的方程为： y=k（x十2）.
设l与C的交点坐标为： A（x1，y1），B（x2，y2）.
NA=λNB
（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2）
x1+2=λ（x2+2）
y1=λy2 x1=λx2+2λ-2
y1=λy2
1、解法一：
当k=0时，直线l与x轴重合，此时各点坐标分别为：
N（-2，0），A（-2，0），B（2，0），
NA=λNB
（-2+2，0）=λ（2+2，0）
λ=3-22
显然，λ瘙 綋
[15，13]
k=0不适合题意 k≠0
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22 +y2=1
k≠0 x=yk-2
消去x，得（2k2+1）y2-4ky+2k2=0
>0
k≠0 16k2-8k2（2k2+1）>0
k≠0 0
根据韦达定理，得 y1+y2=4k2k2+1
y1y2=2k22k2+1
y1=λy2
λy2+y2=4k2k2+1
λy2·y2=2k22k2+1 （λ+1）y2=4k2k2+1
λy22=2k22k2+1 [（λ+1）y2]2λy22=（4k2k2+1）22k22k2+1 （λ+1）2λ =82k2+1
λ+1λ+2=82k2+1
令h（λ）=λ+1λ+2，则h（λ）在区间[15，13]上是单调递减函数。
h（13）≤h（λ）≤h（15）
163≤λ+1λ+2≤365
163≤82k2+1≤365 118≤k2≤14 26≤|k|≤12
考虑上解法一的过程中前面部分得出的结论0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
2、解法二：
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0
>0 64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0 k2
根据韦达定理，得 x1+x2=-8k22k2+1
x1·x2=8k2-22k2+1
x1+2=λ（x2+2）
x1+x2=（x1+2）+（x2+2）-4=λ（x2+2）+（x2+2）-4=（λ+1）（x2+2）-4
x1·x2=[（x1+2）-2][（x2+2）-2]
=（x1+2）（x2+2）-2[（x1+2）+（x2+2）]+4
=λ（x2+2）（x2+2）-2[λ（x2+2）+（x2+2）]+4
=λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2）+4
（λ+1）（x2+2）-4=-8k22k2+1
λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2）+4=8k2-22k2+1
（λ+1）（x2+2）=42k2+1……………………①
λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2） =-62k2+1 ……②
由①得x2+2=4 （λ+1）（2k2+1）………③
把③代人②得
λ16 （λ+1）2（2k2+1）2-2（λ+1）4 （λ+1）（2k2+1）=-62k2+1
16λ（λ+1）2 -8（2k2+1）=-6（2k2+1）
8λ（λ+1）2=2k2+18（λ+1λ）+2=2k2+1
15≤λ≤13
109≤8（λ+1λ）+2≤32109≤2k2+1≤32
118≤k2≤14
考虑上解法二的过程中前面部分得出的结论 k2≤12
k∈[-12，-26]∪[26，12]
3、解法三：
把点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标分别代人椭圆C的方程，得
x122+y12=1………………④
x222+y22=1………………⑤
把y1=λy2代人④，得x122+（λy2）2=1x122λ2+y22=1λ2…………⑥
⑥-⑤得x122λ2-x222=1λ2-1x12-λ2x22=2-2λ2
把x1=λx2+2λ-2代人上面等式中，就能得出x2=12λ-32
15≤λ≤130≤12λ-32≤10≤x2≤1
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0x=-4k2±2-4k22k2+1
x1
根据条件 0≤x2≤1
>0，
得出 0≤-4k2+2-4k22k2+1≤1
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
根据对称性思维，还可以根据x1的范围求出k的范围，因此，解法三还可以演变成另一种形式的过程：
x1=λx2+2λ-2
x2=x1+2λ-2
把这个结论代人等式x12-λ2x22=2-2λ2中，得x1=λ-32
15≤λ≤13-75≤λ-32≤-43-75≤x1≤-43
根据解法三的过程中前面部分得出的结论x=-4k2±2-4k22k2+1
x1
根据条件得-75≤x1≤-43
>0，
得出-75≤-4k2-2-4k22k2+1≤-43
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
4、解法四：
利用解法三中得到的结论x2=12λ-32，x1=λ-32
x1+x2=12（λ+1λ）-3
x1·x2=-34（λ+1λ）+52
15≤λ≤13-34≤12（λ+1λ）-3≤-25
-75≤-34（λ+1λ）+25≤0
-43≤x1+x2≤-25
-75≤x1·x2≤0
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0
根据韦达定理，得x1+x2=-8k22k2+1
x1·x2=8k2-22k2+1
接下来有两种方法都可以求出k的范围。
（i）-43≤x1+x2≤-25
>0
-43≤-8k22k2+1≤-25
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
（ii）-75≤x1·x2≤0
>0
-75≤8k2-22k2+1≤0
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
5.解法五：
利用解法三中得到的结论x2=12λ-32，x1=λ-32
y1=k（x1+2）
y2=k（x2+2）y1=k（λ-32+2）
y2=k（12λ-32+2）
y1=k（λ2+12）
y2=k（12λ+12）
y1+y2=k[12（λ+1λ）+1]
y1·y2=k2[14（λ+1λ）+12]
y1+y2k=12（λ+1λ）+1
y1·y2k2=14（λ+1λ）+12
15≤λ≤13
83≤12（λ+1λ）+1≤185
43≤14（λ+1λ）+12≤9583≤y1+y2k≤185
43≤y1·y2k2≤95
当K=0时，直线l与x轴重合，此时各点坐标分别为：
N（-2，0），A（-2，0），B（2，0）
NA=λNB
（-2+2，0）=λ（2+2，0）
λ=3-22
显然，λ瘙 綋
[15，13]
k=0不适合题意k≠0
将直线L的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
k≠0x=xk-2
消去x，得（2k2+1）y2-4ky+2k2=0
>0
k≠016k2-8k2（2k2+1）>0
k≠00
根据韦达定理，
得y1+y2=4k2k2+1
y1y2=2k22k2+1y1+y2k=42k2+1
y1·y2k2=22k2+1
接下来两种方法都可以求出k的范围
（i）83≤y1+y2k≤185
k∈[-12，-26]∪[26，12]
（ii）43≤y1·y2k2≤95
k∈[-12，-26]∪[26，12]
通过对这一道例题详细缜密的研究，我们懂得了遇到直线和椭圆相交这类题型时如何借助于已知中的向量等式去解决问题，学会了解决这类题型的一些常用方法和常用技巧。把这些方法和技巧推广应用到直线和圆相交、直线和双曲线相交、直线和抛物线相交的情形，就达到了举一反三的良好效果。
解析几何中涉及到向量的题目，是很普遍的一类题型。借助于已知中的向量等式，不但可以由λ的范围求出k的范围，而且还可以由k的范围求出λ的范围。进一步推广，已知λ的值，可以求出k的值；已知k的值，同样也可以求出λ的值。认真研究本文介绍的数学思想和方法，对于这些题型的解决，将会.大有裨益。