卡氏定理求解电梯复杂折弯结构的变形

【摘要】在电梯设计中，经常需要对电梯井道部件的强度及变形求解以确认该结构的设计合理性。在基于降低井道尺寸的原则下，井道部件的布置往往比较紧凑，用于支承井道部件的结构往往为了避开某些部件而设计成多重折弯的结构。计算这些复杂折弯结构的变形通常采用叠加法，但是叠加法的计算过程比较繁琐和结果容易出错，采用卡氏定理[1]计算可以比较快捷及正确的求解结果。本文阐述了利用卡氏定理求解电梯中复杂折弯结构的变形的方法。

【关键词】电梯设计；卡氏定理；复杂折弯结构；变形

1、通常求解变形的方法

如图1所示，复合折弯部件端部O固定，已知部件的尺寸如图所示，部件的弹性模量、惯性矩及截面面积分别为E、I及A。在端点处施加一个垂直于部件的力F，求端点A沿力F方向的变形。通常的求解方法是采用叠加法进行计算，计算方法如图2所示，计算步骤如下：

第一步，把力F等效到L1杆端点处，此时L1端点处的力和力矩分别为F和M1=F（L2cosθ+L3），计算此时L3端点处沿力F方向的变形δ1；

第二步，此时L1杆由于受力保持不动，把L1杆等效为固定点，把力F等效到L2杆端点处，此时L1端点处的力和力矩分别为F和M2=FL3，计算此时L3端点处沿力F方向的变形δ2；

第三步，此时L1和L2杆由于受力保持不动，把L1和L2杆等效为固定点，计算此时L3端点处沿力F方向的变形δ3。

则该复合折弯部件最终在端点处沿力方向的变形δ=δ1+δ2+δ3。由以上3步可知，每次叠加计算L3端点处沿力F方向的变形包括2个方面，一个是随着作用点的变形，一个是由于作用点的转角而产生的位移，叠加过程非常繁琐，如果折弯处数过多，则叠加次数也更多，而且非常容易求解错误。

2、卡氏定理求解变形的方法

基于以上原因，现在介绍一种非常简易的求解复合折弯结构的变形的方法，即卡氏定理（Castigliano’sTheorem）：弹性体上某广义力作用点处的相应广义位移，等于变形能对该广义力的偏导数。具体数学表达式如下所示。

M（x）、N（x）、T（x）为弹性体中弯矩、轴力及扭矩；EI、EA、GIp分别为材料抗弯刚度、抗拉刚度及抗剪刚度；Pk为广义力。

下面将示例利用卡氏定理对图1所示结构的变形进行求解。

各段杆的内力分别为：

分别求得AB，BC，CO各段内力分别为M1=Fx，M2=F（l3+xcosθ），M3=Fx，其中BC段轴力N=Fsinθ对杆件变形的影响极小，可忽略不计。

根据卡氏定理， 点沿力 方向的变形为：

由以上可知，利用卡氏定理求解变形比较的简便，主要分以下2步：

第一步：求解各段杆中的内力；

第二步：把内力代入卡氏定理公式求解变形。

由于求解各段杆的内力是比较容易的，第2步只需要把内力带入卡氏定理的公式即可，所以，利用卡氏定理求解复合折弯结构的变形是非常的简易的。

3、卡氏定理在电梯设计中的应用

电梯设计中，随行电缆挂线架用于支撑随行电缆。假设随行电缆挂线架支架设计成图3所示，当支架晃动20mm以上时随行电缆挂线架会和轿厢发生干涉。试确定提升高度St=90m时电梯的随行电缆挂线架支架在电梯抗震等级[2]设计为2时是否会和轿厢发生干涉。

其中L1=150mm，L2=100mm，L3=500mm，θ=45°；随行电缆挂线架支架惯性矩I=833333.33mm4，随行电缆质量M=St/2*Pt=90m/2*1.0kg/m=45kg，其中Pt为随行电缆单位重量；随行电缆挂线架支架材质为Q235，其弹性模量E=210GPa。抗震等级为2时随行电缆的设计加速度a=4m/s2，考虑最恶劣工况，随行电缆水平地震力都集中于支架端部，则支架端部的水平受力F=M×a=45×4=180N。根据卡氏定理可求得随行电缆挂线架支架沿水平力方向的变形f=12.97mm

4、卡氏定理运用总结

本文介绍了一种求解复合折弯结构变形的计算方法，即利用卡氏定理简易求解沿力作用方向的变形。在实际计算中，卡氏定理需要有条件的使用，只有在满足以下条件时，才可以利用卡氏定理进行求解变形。1）结构需要是弹性体，卡氏定理是基于弹性体的物理性原理推导而出；2）卡氏定理只能求解沿广义力方向上的变形，这是因为卡氏定理在推导过程使用了功能原理：广义力做功等于弹性体的总变形能；3）卡氏定理只适用于集中载荷下的变形求解。在电梯的井道件设计检讨中，经常需要对井道件进行折弯设计以避开干涉。同时需要对井道件发生晃动可能产生的不良影响进行检讨，这时候就需要校核井道部件的强度和变形。对于复杂的井道件，利用卡氏定理求解变形往往是一种比较好的方法。

参考文献

[1]《材料力学》.张如三，王天明著.中国建筑工业出版社，2010年.

[2]《地震情况下的电梯要求》GB/T 31095-2014.

作者简介

姓名：洪水.性别：男.年龄：28岁.学历：本科.工作单位：日立电梯（中国）有限公司.