《图形与证明》知识概要

1. 几何证明中基本的数学思维方法

宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.

反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.

运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.

（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.

（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.

3. 直角三角形

直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.

4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形

这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：

5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法

等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：

通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位线定理

三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.

在许多问题中，常常提供与中点有关的信息，为此，我们通常构造三角形的中位线，利用中位线定理揭示线段之间的位置与数量关系，为进一步探究新信息提供支撑.

7. 几个特殊四边形的面积公式