出奇制胜百战百胜

【摘要】平面向量是高考中的热点也是难点，但其解题策略主要包含几个意识，主要有基底意识，坐标意识，几何意识，投影意识，内积意识，这对解决向量问题有很大的帮助.

【关键词】平面向量；基底意识；坐标意识；几何意识；投影意识；内积意识

综观对近几年高考题中平面向量的思考，发现平面向量的考题中常会涉及向量的长度、夹角、和、差、数量积、投影等概念和知识点，向量试题有越来越综合、越来越灵活的趋势，因而在解题方法和解题工具的选择上尤为显得重要，选择不恰当的方法，会比较费时、费力，且不得要领；选择恰当时，题目甚至可以被“秒杀”，所以在具体的平面向量解题中，对向量解题意识的培养极其重要.

1.基底意识

由平面向量基本定理可知，平面内任意一向量都可用同一组基底进行唯一表示，选取恰当的基底，数形结合，用已知的基底来表示所涉及处理的向量，让问题转化成已知基底的运算.这种未知向已知的转化，充分展示基底方法的优越性.

图1

例1如图1，在ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，AB=3AD，AE=EC，求BE・CD的值.

分析直接求BE・CD的值需知道BE与CD的模及夹角，显然无法得到，因已知条件可知线段AB，AC的长与夹角.故选择适当的两不共线向量来表示所求的BE与CD，记AB=a，AC=b，则|a|=3，|b|=4，a・b=6，BE=12b-a，CD=13a-b，BE・CD=12b-a・13a-b=76a・b-12|b|2-13a2=-4.

2.坐标意识

将平面向量数量化，向量的坐标表示就是一种具体表现，它简化了向量的分析、繁杂的运算，只要结合向量的坐标运算就能达到目的，这需要我们在审题时发现能否建立直角坐标系来确定一些点的坐标，从而得到所需向量的坐标，再对向量进行运算.

图2

例2如图2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F为边CD上，若AB・AF=2，则AE・BF=.

分析由于AB，BC的长度已知，夹角确定，因此选择AB，AD为基底，可用基底意识解之，但对特殊图形容易建系的情况，我们可以将向量用坐标表示加以计算，如图以A为原点，AB为x轴，垂直于AD为y轴建系，设F（x，2），A（0，0），E（2，1），B（2，0）显然AF=（x，2），AB=（2，0），得AB・AF=2x=2，确定得F（1，2），故AE=（2，1），BF=（1-2，2），AE・BF=2（1-2）+1×2=2.

3.几何意识

向量有着数与形的完美结合，向量的线性运算与数量积都有独特的几何意义，数形结合的思想方法的灵活运用，省时省力，可以提高解题的效率.

例3已知a，b是平面内的两个单位向量，a・b=12，若向量c满足

分析本题若采用基底或坐标意识去解决都比较困难，但是用几何法就相对比较简单.

图3

a・b=12，a=|b|=1，a，b的夹角为60°.又

4.投影意识

向量的数量积的运算包括几何法和坐标法，几何法需确定两向量的模与夹角等基本量，当模与夹角不确定或不易得到的情况下，很难用公式解决，而向量数量积a・b的几何意义为a的模与b在a上的投影|b|cos〈a，b〉的乘积，正因有了“向量的投影”的概念若将其作为一种“整体意识”加以运用，则可事半功倍.

例4如图4，点C是半径为2的圆O上一动点，若弦AB=3，求AB・BC的最大值.

图4

分析因为AB・BC=AB・（AC-AB）=AB・AC-9，所以只需得到AB・AC的最大值，因为|AB|=3，故由AB・AC的定义知，只要求得AC在AB上的投影的最大值，则可过O作AB的平行线与圆的交点C′，得AD为AC在AB上投影的最大值，而AD=12AB+r=32+2=72，所以AB・AC=ABACcos∠C′AD≤ABAD=3×72=212，因此（AB・AC）max=212×9=32.

5.内积意识

两向量的数量积即内积，向量的内积是平面向量的重点，事实上，平面向量的内积对长度、角度等方面有着非常广泛的应用空间，在求解一些代数问题时，若有目的、有意识在一向量恒等式的两边，对同一向量进行数量积，则同样能收到较满意的解题效果.即当a=b，则a・c=b・c成立.

例5已知ABC所在平面上点P满足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈R，则动点P的轨迹一定过ABC的心.（填：重心，垂心，外心，内心）

分析观察分析条件中出现cosB，cosC，而AB，AC与BC进行内积可与cosB，cosC有密切联系，因为OP-OA=AP，所以向量恒等式OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈R.两边可同时对BC进行内积，所以条件可以变为AP・BC=λAB・BCABcosB+AC・BCACcosC=λ（-BC+BC）=0，可得APBC，则P的轨迹一定过ABC的垂心.

正如陈武生老师说的，过分强调任何一种方法都不恰当，我们应分清各种方法的作用与功能，理清楚题目向量的条件，这样才能做到出奇制胜，百战百胜.