途径倒转思维法在中考解题教学中的运用

从与已有解题途径相反的方向去思考问题和处理问题的思维方法称为途径倒转逆向思维法［1］，其在中考解题中的渗透面较为广泛.在实际的解题教学中，教师应注重数学概念、公式、定理的逆用性引导，将逆推分析法和反证法等方法融入解题教学，通过应用途径倒转思维法来提高学生的解题能力.

一、试题讲解中应注重学生逆向思维训练

解题时学生习惯于按照从左到右或化繁就简的一个顺序，这样使数学概念、公式、定理不能得到实质性的掌握.在某些题中，需要学生能够从问题的另一面出发，从右到左或对公式进行变形，对概念和定理命题的一个条件和结论转化的深层理解.

【例1】（2011年黄冈市）要使式子a+2a　有意义，则a的取值范围为.

分析：此题考查的是对分式和根式概念的逆向理解.只要保证根式里面的值大于等于零，分式中分母不为零即可.

【例2】（2012年广州）已知关于x的一元二次方程x2-23x-k=0有两个相等实根，则k的值为.

分析：一元二次方程解的情况可由根的判别式进行分类.此题考查的是根的判别式的逆用，有两个相等实根表明Δ=（-23）2-4×（-k）=0，解出k=-3.

简评：解题中对于数学概念、公式、定理的逆用，实际是重归于对数学概念、公式、定理的认识.从以上两题也反映出概念、公式逆用的考查在中考中的重要性.所以教师很有必要在解题中对学生进行该方面的思维训练.

二、善用分析法，执果索因，挖掘承接结论与已知条件的辅助因素，逆向找出解题途径

逆推分析法是指从欲求问题出发，对问题表述进行分析转译，着重于挖掘承接结论与条件的辅助因素，使得问题得以解答的一种逆向思维方法.中考数学题型中的几何证明题、最值问题和运动探索题用逆推分析法解答能够使解答过程更清晰，更具条理性.

【例3】（2011年上海中考）如图1，在梯形ABCD

置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法，着重强调了几何方法，对代数方法没做要求，但用代数方法来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此，增加了用代数方法来分析位置关系的内容，这样有利于培养学生的数形结合、几何问题代数化等思想方法的运用能力及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.

五、教学评析

数学是思想的体操，数学教学是思维的教学.学生的思维活动依赖于教师的循循善诱和精心的点拨与启发，而数学学科的特点又决定了数学内容的掌握和运用都需经过艰苦、细致的思考和探索.问题具有启发性和探索性是本教学设计的具体体现.比如，研究圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：：x2+y2-4x-4y-2=0的关系时，问：有没有必要把交点的坐标求出来？更进一步问：能否说明，要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x+2y-1=0与C1（或C2）的关系就可以了呢？问题具有针对性、挑战性，不仅体现了化归的思想，而且颇具思考价值.

本课例运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续热情.变式教学是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点内在联系的一种教学设计方法.通过变式教学，采用一题多用、多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，从而让学生产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣.本设计提出问题1后接着提出与之有联系的问题2和问题3.通过学生的观察分析，发现了过两圆交点的公共弦所在直线方程；通过学生不同思维方法的探究，归纳出曲线系方程解决与圆交点有关问题的优越性.

本课例采用联想、设疑、探索、讨论、引导、归纳等方法进行分析，并在教学情境中还原这种精神过程，给学生充分展示一系列的图形或实际例子，让学生亲自实践，亲自操作，同时进行比较分析、研究.经过反复的观察和思考后，凭借他们的直觉作出各种猜想，然后加以证明.只有这样，才能够使学生感到数学的亲切、自然；才能够使学生感到教学内容不是从天而降，从而对教学过程做到心中有数.而且，还使学生从中体验到数学研究的思想方法，培养了对数学的学习兴趣.

【基金项目】本文是广东省教育科学“十二五”规划课题：《高中数学新课程课堂教学典型案例研究》成果项目之一.