线性代数教学中需要解决的几个关键问题

摘 要： 《线性代数》是高等院校一门的重要基础课程，具有较强的逻辑性、抽象性。本文就在线性代数的教学中如何与中学代数紧密衔接、如何确定线性代数的主线及如何阐明线性代数的思想三个问题，给出了一些建议。

关键词： 线性代数 中学代数 主线 思想方法

线性代数是现代数学的一个重要的分支，它主要研究有限维线性空间中的线性关系和数组间的运算关系。线性代数为现代数学、现代物理学、现代化学、计算机科学、现代通信等提供了重要的结论和研究方法。在当今信息时代，线性代数有了越来越广泛的应用，它已成为工科类本科的主干基础课之一。如何教好这门课呢？笔者根据自己在讲授线性代数课的体会，认为在教学中应该需要解决好以下三个关键问题。

1.如何与中学代数紧密衔接

中学代数主要是常量代数，研究的多是常量的定量计算，其教材难度较小，且表述较具体形象，容易理解和接受。线性代数与中学代数相比，具有极强的逻辑性和抽象性。如果不能很好地解决线性代数与中学代数的衔接问题，势必会造成大一学生的诸多不适应。针对这个问题，我们应从中学代数中最基本的解二元一次方程组的消元法引出矩阵及矩阵初等变换的概念，这些概念和方法既与中学代数紧密相连，又贯穿于线性代数这门课程的始终，并让学生明白解线性方程组是线性代数解决的主要问题之一。这样可以与中学代数紧密衔接，让学生感觉到线性代数与中学代数的紧密联系，并且增强学生学习线性代数的动力和兴趣。

2.如何确定线性代数的主线

线性代数课程中表面看起来概念多、定理多、符号多、运算规律多、计算麻烦，且前后内容相互纵横交错，对于初学者来说会觉得有些难度。因此如何从纵横交错的内容中确定出主线，找出前后知识的紧密联系，是在教学过程中必须解决的重要问题之一。（1）第一条主线——线性方程组。线性方程组是产生线性代数这门课程的原动力，对它的研究促成了行列式和矩阵理论的发展。行列式是线性代数一个重要的概念，它广泛应用于数学、工程技术和经济学等领域。中学代数已经讲过二元一次、三元一次方程组（方程的个数和未知量的个数相等）的消元解法，而对于方程的个数和未知量的个数相等的一般线性方程组，应该怎样求解呢？为此引入行列式的概念，进而给出求此类线性方程组的一个重要法则——克拉默法则。因此行列式出现于线性方程组的求解。而克拉默法则对于方程的个数和未知量的个数不相等的线性方程组就不适用了，这时我们就需要引入矩阵这个工具。为了给出一般线性方程组的求解方法，引入矩阵的秩的概念和矩阵的初等变换，通过对增广矩阵施行初等行变换得到方程组的通解，并利用矩阵的秩的定义给出线性方程组有解的充要条件。对任何一个线性方程组，在有解的情况下，我们都能利用初等变换求出它的全部解。那么在线性方程组有无穷多个解的情况下，解与解之间的关系又如何呢？能不能利用有限个解去表示这无穷多个解呢？而要解决这两个问题，我们又必须讨论向量组的线性相关性的有关理论。向量组的线性相关性和线性无关性不过是把线性方程组有无非零解换成另一种说法而已。因为向量组的线性相关等价于齐次线性方程组有非零解。一个向量可由另外一个向量组线性表示的充要条件是由这些向量构成的线性方程组有解。为了利用线性方程组的有限个解去表示无穷多个解，我们需要掌握向量组的极大无关组这个概念，而用极大大无关组表示其余向量本质上就是同时解若干个非齐次方程组。最终利用向量组的线性相关性的理论研究线性方程组的解的结构，从而完善线性方程组的理论。由此可见，线性方程组这条主线将行列式、矩阵和向量组合理地联系起来。（2）第二条主线——实二次型化成标准形。在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，可以做适当的坐标变换，将方程化为只含有平方项的形式，通过这种形式我们可以很方便地识别曲线的类型，研究曲线的性质。而在科学技术和经济管理领域中也会遇到这样类似的问题：要把二次型通过变量的线性变换化简为只含有平方项的形式，即将二次型化为标准形。而为了完成这一工作，我们就需要引入矩阵的特征值和特征向量的概念，进而研究矩阵对角化的条件，重点讨论实对称矩阵可对角化，为将二次型化为标准形做好准备。有了前面的知识准备，我们可以给出三种二次型化为标准形的方法，重点讨论用正交变换化二次型为标准形的方法。因此，线性代数的后两章是以实二次型化成标准形为主线展开讨论，这样就将矩阵的特征值和特征向量、矩阵可对角化及二次型理论有机地联系起来。由上可见，通过解线性方程组和实二次型化成标准形这两条线，可将线性代数课程的主要知识点合理地组织起来。学生抓住这两条主线，能从整体上更清楚地把握线性代数课程的思想和方法，让老师和学生在教与学的过程中做到有的放矢。

3.如何阐明线性代数的思想

线性代数具有极强的逻辑性和抽象性，而这门课程主要面对的是应用型本科学生，那么如何做到既能阐明线性代数的主要思想，又能让工科学生容易接受，这是一个值得探究的问题。笔者认为在教学过程中应该通过大量的例题来阐明线性代数的思想。例如我们在讲解行列式的概念时，用平行四边形的面积和平行六面体的体积的例子来引出二阶和三阶行列式的概念，这样可使学生领会到行列式的理论与几何理论的关系，把行列式用形象的几何图形来描述，让学生了解行列式定义的由来和相关的背景。这样就把很抽象的行列式的概念变得具体化，让学生能较直观地理解概念，并能灵活应用。又如通过求向量组的秩与极大无关组，并将该向量组中其余向量用此极大无关组线性表出这样一个例子可以体现出线性代数中的化归思想。我们可将该问题化归为线性方程组的求解问题，而用矩阵的行初等变换求解线性方程组，因为它易于理解且操作性强，所以只要弄清楚线性方程组的求解问题，向量组极大无关组的问题也就迎刃而解了。我们在讲行列式的定义时，首先会讲2阶的行列式是2项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的2个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号；3阶的行列式是6项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的3个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号。同样，可类比思考4阶行列式的定义，进而让同学自己给出阶行列式的定义。由直角坐标系下几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推出规范正交基下维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式。我们在教学过程中，通过大量例题来阐明线性代数的抽象化思想、化归思想、类比思想等思想方法，既有利于培养学生的探究和创新能力，又能增强应用型本科生学习线性代数的兴趣。结合线性代数中的这些思维方法，学生可在此启发下对高等数学、概率论及数理统计的某些内容进行相同的分析，产生浓厚的学习兴趣。

在线性代数的教学过程中，如果我们能解决好以上三个关键问题，相信教学效果会有明显的改善，而学生也会学得更加轻松快乐。

参考文献：

［1］同济大学数学教研室.线性代数［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［2］唐明，冯鸣，缪永伟，周明华.线性代数一本通［M］.杭州：浙江大学出版社，2007.

［3］毕成良，李晓波.《线性代数》教学与观念更新［J］.兵团教育学院学报，2003，13（4）：31-33.

［4］张姗姗.线性代数教学改革的思考［J］.考试周刊，2011，（30）.