m―拟―*―A(k)算子的谱

摘 要：设k > 0， m为正整数，若T满足T*m（T*|T|2kT）1/k+1 Tm ≥ T*m|T*|2Tm，则T是m-拟-*-A（k）算子。本文给出m-拟-*-A算子的一些例子，并证明若T是m-拟-*-A算子，则σjp（T）＼{0}= σp（T）＼{0}， σja（T）＼{0} = σa（T）＼{0}.

关键词：m-拟-*-A（k）算子；点谱；近似点谱

Abstract： An operator T is called m-quasi-*-A（k） operator， if T*m（T*|T|2kT） 1/k+1 Tm ≥ T*m|T*|2Tm.In this paper， we give some examples of m-quasi-？-A（k） operator， and show that if T is a m-quasi-*-A（k）operator， then σjp（T）＼{0} = σp（T）＼{0}， σja（T）＼{0} = σa（T）＼{0}.

Key words： m-quasi-*-A（k） operator； point spectrum； approximate point spectrum.

设H为无穷维的可分的Hilbert空间，B（H）为H上有界线性算子代数的全体。若T满足T*T ≥ TT*，则称T为亚正规算子。近年来算子理论的一个研究热点是对亚正规算子的自然扩展。在文献[1]中，T.Furuta等定义A类算子为|T2| ≥ |T|2， 其中|T| = （T*T）1/2 ，且亚正规算子是A类算子，在文献[2]中，定义A（k）类算子为（T*|T|2kT）1/k+1 ≥ |T|2，作为A（k）类算子的变型， 杨长森等在文献[3]中引入了*-A（k）类算子，满足条件（T*|T|2kT）1/k+1 ≥ |T*|2.作为*-A（k）类算子的扩展 ，作者在[4]中引入了m-拟-*-A（k）算子如下：

定义1设k > 0， m为正整数，若T满足

T*m（T*|T|2kT）1/k+1 Tm ≥ T*m|T*|2Tm，

则称T是m-拟-*-A（k）类算子。

显然*-A（k）类算子是m-拟-*-A（k）算子

记σ（T）， σa（T）， σja（T）， σp（T）和σjp（T）分别为T的谱，近似点谱，联合近似点谱，点谱和联合点谱。若存在一个非零x ∈ H，。使得（T -λ）x = 0，则称λ为T的点谱；进一步，若（T* -λ-）x = 0，则称λ为T的联合点谱。类似的，若存在一列单位向量{xn}，使得（T -λ）xn 0，则称λ为T的近似点谱；进一步，若（T*-λ-）xn 0，则称λ为T的联合近似点谱。有定义知σja（T） σa（T），一般σja（T） ≠σa（T）.近来，已证明一些非正规的算子T满足σjp（T）＼{0} =σp（T）＼{0}， σja（T）＼{0} = σa（T）＼{0}[5-9].本文将此结论推广到m-拟-*-A算子。

第二部分，给出了m-拟-*-A算子的一些例子，证明了若T是m-拟-*-A算子，则σjp（T）＼{0} =σp（T）＼{0}， σja（T）＼{0} = σa（T）＼{0}.

主要结果

通关简单的计算，我们可以得到以下引理。

引理1.1 设K= Hn.其中Hn≌H， A， B是H上的正算子，在K上定义算子TA，B如下：

则下列结论成立：

（i）TA，B是*-A（k）类算子当且仅当（AB2kA）1/k+1 ≥ A2且B2 ≥ A2.

（ii）TA，B是2-拟-*-A（k）类算子当且仅当A2B2A2 ≥ A6.

下面的例子说明2-拟-*-A（k）算子不一定是*-A（k）算子.

例 1.2 一个不是？-A（k）而是2-拟-？-A（k）算子的例子

令A和B如下

因此，TA，B不是*-A（k）算子.

另一方面，由于

因此TA，B 是2-拟-*-A（k）算子.

考虑无限维Hilbert空间上的单侧加权移位算子.给出有界正数序列α ： α1， α2， α3，…（称作加权），把H = l2 空间上与序列α有关的单侧加权移位算子Wα定义为Wαen =αnen+1.通过计算，得Wα为m-拟-*-A（k）算子的充要条件是

其中

（αi+mαi+m+1k）1/k+1≥ αi+m-1 （i = 1， 2， 3， . . .）.

下面的例子说明m+1-拟-*-A（2）算子不一定是m-拟-*-A（2）算子.

例1.3 一个不是m-拟-*-A（2）算子，但却是m+1-拟-*-A（2）的算子.

设T是单侧加权移位算子，给出加权序列（αi），令α1 = 1， α2 = 1， α3 = 1， ・・・ ， αm = 3， αm+1 = 1， αm+2 = 8， αm+2 = αm+3 = αm+4 = ・・・.通过简单的计算得，T是m+1-拟-*-A（2）算子，但不是m-拟-*-A（2）算子.

引理1.4 [4] 设T是m-拟-*-A（k）算子，其中0 < k ≤ 1，且λ≠0，若Tx = λx，则T*x = λ-x.

引理1.5[10] 设H是一个复Hilbert空间.则存在一个Hilbert空间K使得H K，且存在一个映射φ ： B（H） B（K）满足

（i）φ是代数B（H）在K上的忠实*-表示；

（ii）φ（A） ≥ 0， A ≥ 0 ；

（iii）σa（T） = σa（φ（T）） = σp（ （φT））， T ∈ B（H） .

引理1.6[9]设φ： B（H） B（K）是Berberian忠实*-表示，则σja（T） = σjp（φ（T））.

定理1.7 设T ∈ B（H）是m-拟-*-A（k）算子，其中0 < k ≤1，则

（i）σjp（T）＼{0} = σp（T）＼{0}；

（ii）若（T -λ）x = 0， （T-μ）y = 0， 且λ≠μ， 则 < x， y >= 0；

（iii）σja（T）＼{0} = σa（T）＼{0}.

证明 （i）由引理1.4显然可得.

（ii）不失一般性，不妨设μ0.则由引理1.4可得（T -μ）*y = 0.因此，μ < x， y >==< Tx， y >= λ < x， y > . 因为λ≠ μ， 从而< x， y >= 0

（iii）设φ： B（H） B（K）是引理1.5中的Berberian忠实*-表示。下证φ（T）也是m-拟-*-A（k）算子

事实上，T是m-拟-*-A（k）算子，由引理1.5可得

（φ（T））*m[（（φ（T））*|φ（T）|2kφ（T））1/ k+1-|（φ（T））*|2]（φ（T））m = φ（T*m[（T*|T|2kT） 1/k+1-|T*|2]Tm） ≥ 0.

从而由引理1.5和引理1.6得

σa（T）＼{0} = σa（φ（T））＼{0} = σp（φ（T））＼{0} = σjp（φ（T））＼{0} = σja（T）＼{0}.

参考文献：

[1]Furuta T， Ito M， Yamazaki T. A subclass of paranormal operators including class of log-hyponormal and several related classes[J]. Sci Math.， 1998， 1： 389C403.

[2] Furuta T. Invitation to Linear Operators [M]， London： Taylor & Francis， 2001.

[3]Yang C S， Shen J L. Spectrum of class absolute-？-k-paranormal operators for 0 ≤ k ≤ 1[J]. Filomat， 2013，27（4）： 671C678.

[4] Wang H W. The properties of m-quasi-？-A（k） operator[J]. in press.

[5] Aluthge A， Wang D. w-hyponormal operators II[J]. Integr. Equ. Oper. Theory， 2000， 37（3）： 324C331.

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