换元法在椭圆问题中运用

我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大，而感觉问题变得很难。其实，在椭圆方程中，令a=b=r，则椭圆方程变为圆方程；在椭圆面积公式S=πab中，令a=b=r，则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆，它们有很多相似的性质，从而椭圆的有些问题就可以用圆的知识来处理.下面分类举例，予以说明.求椭圆的中点弦方程例1：已知椭圆+=1，定点P（m，n）（mn≠0）在椭圆内，求以P（m，n）为中点的弦所在的直线方程.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和定点P（m，n）变为相应的圆x′2+y′2=1和定点P′（，），从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1内以P′（，）为中点的弦所在的直线方程.直线OP′的斜率kOP′==，以P′为中点的弦所在直线的斜率为-，弦所在直线的方程为y′-=－（x′-），化简得b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.评析：本题也可用韦达定理或“点差法”解决，但运算较繁琐，而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆，再运用圆的性质轻松求解，可谓方法独特.求椭圆上的动点到定直线（或定点）的距离的最值例2：在椭圆+=1上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0的距离最短，并求此距离.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和直线l变为相应的圆x′2+y′2=1和直线l′：6x′-2y′-16=0.从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1上一点到直线l′：6x′-2y′-16=0的距离最短问题.由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心O′（0，0）作直线l′的垂线段，交圆于点P′（x′，y′），点P′到垂足的距离最短.因此由直线l′的垂线O′P′：y′=-x′和圆x′2+y′2=1相交，可求得点P′为（，-）.则相应椭圆上所求的点P为（，-），所求最短距离为=.评析：此类问题还可用函数法、判别式法、导数法和参数法求解，而通过换元法将椭圆和直线（或定点）转化为相应的圆和直线（或定点），运用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程.求椭圆方程例3：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（0，2）作直线l与椭圆交于A、B两点，设N为AB的中点，且KON=，=，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），已知e==，得a2=2b2，椭圆方程变为+=1，即x2+=2b2.令x′=x，y′=y，则椭圆和定点M（0，2）变为相应的圆x′2+y′2=2b2和定点M′（0，2）.变化前后如上图所示：设N为（x0，y0），N′为（x′0，y′0），则kO′N′===kON=.N为AB的中点，坐标线性变换后，N′为A′B′的中点，O′N′A′B′，kA′B′=-=-2，直线A′B′的方程为：y′=-2x′+2，O′到直线A′B′的距离d′=|O′N′|=.又|O′M′|=2，在RtO′M′N′中，|M′N′|=.==，又N′为A′B′的中点，|A′N′|=|M′N′|=，|O′A′|2=2b2=d′2+|A′N′|2=，得b2=，椭圆方程为+=1.评析：本题通过换元法将椭圆转化为圆，使得题目中的已知条件变为圆的条件，从而多增加了“圆心与弦的中点的连线与弦垂直”这个条件，接着利用圆中的垂径定理和勾股定理，就使问题变得容易解决.