基于顾客资产的资本资产定价模型

Research on CAPM Based on the Customer Equity

Tan Wenwei

（College of Economics and Management，Xi'an Fanyi University，Xi'an 710105，China）

摘要：以夏普的资本资产定价模型为基础，指出顾客资产计量模型中应该考虑顾客信用因素的必要性，并将其导入资本资产定价模型是建立计量模型的必然要求，从而推导建立了顾客资产期望收益率模型。

Abstract: Based on CAPM, it's concluded that Customer Equity measurement model should take customer credit into account, and it is necessary to bring credit risk into CAPM when we set up a model for measure Customer Equity .And then there sets up a required rate of return model for measure Customer Equity.

关键词：顾客资产 折现率 顾客资产必要收益率 资产组合收益率 资本资产定价模型

Key words: customer equity；discount rate；necessary-reward rate of customer equity；assemble reward rate of asset；CAPM

中图分类号：F221 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）14-0155-03

1问题的提出

在1996年，由Blattberg和Deighton在哈佛商业评论上发表的论文――《Manage Marketing by the Customer Equity Test》中首次提出“ CustomerEquity”①（简记CE）的概念，中文直译是“顾客权益”的意思，国内研究者基本上都将其翻译为“顾客资产”，是指企业所有顾客终身价值（Customer Lifetime Valuation，简记CLV）折现现值的总和。“顾客终身价值是企业在那位顾客与公司交易的整个期间从顾客那里获得的纯利润或损失”[1]。

Guilding和McManus（2002）首次提出了“顾客会计（Customer Accounting）”概念，认为顾客会计是企业在采取顾客导向的竞争战略时所构建的以财务信息为主，反映企业顾客资源价值及其变动的信息系统，它的主要职能在于度量顾客价值及其变动。顾客会计包括用于评价与某特定顾客或顾客群体有关的收入或利润现值的所有会计方法。[2]

顾客资产的会计计量是目前理论界探索的又一新的课题，其之所以会引起大家的关注，是现代企业经营在实践中之使然，从资产评估学原理出发，其计量方法可以采用收益现值法，其中，折现率的确定是重要的一环。本文以顾客资产的会计计量为目标，依据风险累加法理论，即：资产的折现率=通货膨胀率+资产期望收益率。

建立计量顾客资产和顾客资产组合的期望收益率模型，并纳入上述折现率计算模型，进而用于顾客资产价值的评估当中。

2现资组合理论――夏普提出的资本资产定价模型

现资组合理论又称为证券组合理论或投资分散理论，由美国的著名学者哈里・马科威茨（H.Markowitz）提出，并由夏普（William，F.Sharpe）等人加以完善发展。

2.1 资本资产定价模型的假设条件资本资产定价模型是在严格的假设条件下给出了风险资产的收益率与市场资产组合的收益率之间的关系。

这些假设条件包括如下内容：

假设 1：投资具有均值-方差效用函数，投资行为依据资产收益率和方差，遵守占优原则：在同一风险（方差）水平下，选择期望收益率大的证券组合；在同一期望收益率水平下，选择风险（方差）小的证券组合；

假设 2：所有投资者对证券收益率概率分布的看法一致，因此市场上的有效前沿曲线只有一条；

假设 3：所有投资者处于同一单期投资日期；

假设 4：资产数量是固定的，资产无限可分，即投资者可以以任意金额投资于各种资产；

假设 5：市场无卖空限制；

假设 6：资本市场上存在无风险资产，投资者能以固定无风险利率借入或贷出任意数量的该种资产，这个利率对所有投资者都相同；

假设 7：资本市场没有税收和交易成本，资产没有红利分配；

假设 8：没有通货膨胀和利率的变化；

假设 9：投资者是价格承受者，即单个投资者不能通过其买卖行为影响资产价格，即处于完全竞争状态。[3]

由于市场的现实条件难以满足这些假设，从而限制了这个模型的实际应用。因此，理论界数十年来不断提出各种修正模型以放松其严格的假设条件，如连续时间消费资本资产定价模型；并且提出了一些拓展模型，如斯蒂芬・罗斯（Stephen A Ross，1976）提出的套利定价定理（The Arbitrage Pricing Theory）。

2.2 市场存在无风险资产时的资本资产定价模型假设市场存在无风险资产时，任意风险资产的超额收益率可表示为：

E（Ri）-R0=βi[E（RX）-R0]（1）

其中βi=■ （i=1，2，3，…，n）

表示为向量形式为：E（R）-R0I=β[E（RX）-R0]（2）

其中：β=■

3顾客资产组合收益率的期望和方差

3.1 顾客资产组合收益率的期望在本文中，定义顾客资产是企业在履行未来契约易中获得的经济利益的现值，其中经济利益包括契约中已经明确规定的经济利益及有证据表明可归属于此契约的其它经济利益。[4]契约的形成是以信用为条件的，而信用是在各种风险中维持的，任何企业都存在信用风险。

假设在t0t1其间，企业有n份顾客资产，分别用CE1，CE2，CE3，…，CEn表示。

将企业每份顾客资产包含的经济利益分为直接收益和间接收益两部分，相应地企业从每份顾客资产中要求获得的收益率可以表示为：

R■=■=■+■+■=Y■+η■■+η■■=Y■+ε■（3）

其中：①顾客资产CEi包含的经济利益中直接收益或由收入带动的收益额为Pil；②间接收益为Pi2；③成本费用为Ci；④坏账损失为Di，这是一个随机变量；损失率■=η■■；⑤账款延期支付的管理成本和契约额调整成本为Ki，这也是一个随机变量；用■=η■■表示该比率；⑥名义收益率为Y■，是一常数；⑦信用风险损失率为ε■=η■■+η■■，它是两个随机变量的和。

定义 1：企业每份顾客资产包含的经济利益中的直接收益与间接收益之和，称为名义收益。

设RX是顾客资产组合的收益率。则：R■=■X■（Y■+ε■）（4）

其中：X■表示顾客资产CEi的成本占顾客资产组合总成本的比例或者说顾客资产CEi的成本额占企业所有顾客资产总成本额的比例；■X■=1，即ITX=1， I=（1，1，1，…，1）T即I是n维列向量。

X■=■×100%

从而顾客资产组合的收益率的期望可表示为如下公式：

E（R■）=■X■E（Y■+ε■）=■X■[Y■+E（ε■）]

=■X■Y■+■X■E（ε■）（5）

令向量X=（X■，X■，X■，…，X■）■；

θ=（θ■，θ■，θ■，…，θ■）■=（Y■+ε■，Y■+ε■，Y■+ε■，…，Y■+ε■）■

E（θ）=[E（θ■），E（θ■），E（θ■），…，E（θ■）]■

=[Y■+E（ε■），Y■+E（ε■），Y■+E（ε■），…，Y■+E（ε■）]■

则R■=XTθ

E（R■）=XTE（θ）

顾客资产CEi的期望收益率公式为：E（R■）=Y■+E（ε■）

3.2 顾客资产组合收益率的方差

由R■=■X■（Y■+ε■）知

D（R■）=E■X■（Y■+ε■）-■X■E（Y■+ε■）■

=E■X■ε■-■X■E（ε■）■=（X■，X■，X■，…，X■）

Cov（ε■，ε■）…Cov（ε■，ε■）┆?埙┆Cov（ε■，ε■）…Cov（ε■，ε■）X■X■┆X■=XTNX（6）

其中：N=Cov（ε■，ε■）…Cov（ε■，ε■） ┆ ?埙┆Cov（ε■，ε■）…Cov（ε■，ε■）

如N可逆，则N是正定矩阵。从中可以看出，顾客资产组合的收益率的方差是资产组合X和随即变量信用风险率协方差的函数。

4顾客资产组合收益率的均值-方差分析

标准资本资产定价模型中首先假设投资具有均值-方差效用函数，投资行为依据资产收益率和方差，遵守占优原则：在同一风险（方差）水平下，选择期望收益率大的证券组合；在同一期望收益率水平下，选择风险（方差）小的证券组合。

本文依旧遵循这一思路，并且，按照前述定义顾客资产的思想，由于契约等的制约，使得企业从顾客获得的收益具有相对稳定的特性，在大量随机因素的影响下，可以假设顾客资产收益率服从正态分布；另外，同样的原因，即从一份契约的完成角度看，假设收益期是单期的具有一定的合理性，只不过单期的长度因契约期的不同而不同。同时，对于企业而言，依据顾客资产是契约条件下的市场投资，这种市场是半强有效市场的分析结论，计算原理类似于有效市场下进行交易的资产，同时作以下假设：

假设 1：资本市场上存在无风险资产；

假设 2：收益和支出在同一时期；

假设3：企业仅考虑持有顾客资产的情况，而不考虑存在交易性资产的情况。

由此建立以下模型：

min■D（R■）=■X■NX（7）

s.t.I■X=1E（R■）=X■E（θ）=μ（8）

依据附录，可知

c′=I■NI>0

a′=I■N■E（θ）=[E（θ）]■N■I

b′=[E（θ）]■N■E（θ）>0

d′=b′c′-（a′）■

最优解：

Xμ=N■[λ1I+λ2E（θ）]=N■■（b′-μa′）I+■（μc′-a′）E（θ）（9）

D（R■）=■μ-■■+■（10）

5存在无风险资产时的均值-方差分析――基于顾客资产的资本资产定价模型

相当于顾客的信用风险来看，长期国债的利率是高信用的，为了简化计算，以长期国债的利率作为无风险利率，从而可得到如下结论。

此时最小方差顾客资产组合模型表示为：

min■D（R■）=■X■NX（11）

s.t. [E（θ-R■I]■X=μ-R■（12）

解得：

（1）X■=■ （13）

（2）Cov（θ，R■）=NX■=■=■（14）

其中：Y=（Y■，Y■，Y■，…，Y■）■

ε=（ε■，ε■，ε■，…，ε■）■

E（ε）=[E（ε■），E（ε■），E（ε■），…，E（ε■）]■

（3）E（θ）-R■I=■[E（R■）-R■]（15）

（4）E（θ■）-R■=β■?WE（R■）-R■（16）

Y■+E（ε■）-R■=β■?WE（R■）-R■（17）

其中：

β■=■=■

=■（18）

（5）D（R■）=■（19）

其中，h′=b′-2a′R■+c′R■■（20）

由（3）式知，企业从每份顾客资产CEi中获得的必要收益率可以表示为：

E（R■）=Y■+E（ε■）=Y■+E（η■■）+E（η■■）=E（θ■）（21）

（13）、（14）和（16）式分别就是存在无风险资产时顾客资产组合的最小方差组合、信用风险率与顾客资产组合收益率的协方差、顾客资产CEi的期望信用风险率。

由此，i顾客资产的折现率可以表示为如下格式：

i顾客资产折现率=通货膨胀率+i顾客资产必要报酬率

=R■+E（R■）=R■+Y■+E（ε■）=Rf+Yi+E（η■■）+E（η■■）=R■+E（θ■）（22）

其中：R■表示通货膨胀率；E（R■）表示顾客资产CEi的必要报酬率；Yi表示顾客资产CEi的名义收益率；E（ε■）表示顾客资产CEi的期望信用风险率。

6Sharpe-Lintner资本资产定价模型与基于顾客资产的资本资产定价模型的比较

Sharpe-Lintner资本资产定价模型：

E（R■）-R■=β■[E（R■）-R■]

其中： β■=■ （i=1，2，3，…，n）

本文中基于顾客资产的资本资产定价模型：

E（θ■）-R■=β■?WE（R■）-R■

Y■+E（ε■）-R■=β■?WE（R■）-R■

其中 β■=■=■

从模型的形式上看，Sharpe-Lintner资本资产定价模型中资产Ai（i=1，2，3，…，n）的期望收益率E（R■）与基于顾客资产的资本资产定价模型中的顾客资产CEi的期望必要报酬率E（θ■）只是表示方法的不同，但实质上后者具有更为具体的含义，这种变化正是在于顾客资产概念的引入改变了E（R■）的内涵，即顾客资产CEi的期望必要报酬率E（θ■）需要分两部分，其中一部分是源自契约性的坏账损失Di和资产组合的协方差；另一部分是账款延期支付的管理成本和契约额调整成本Ki和资产组合的协方差，它们组成客户的期望信用风险损失率E（ε■），这才是决定顾客资产CEi的期望必要报酬率E（θ■）大小的真正要素。

同时上述差别也导致β■的显著区别，即Sharpe-Lintner资本资产定价模型中：β■=■；

而基于顾客资产的资本资产定价模型中：

β■=■

Cov（η■■，R■）反映了源自契约性的坏账损失Di和资产组合的协方差；Cov（η■■，R■）反映了账款延期支付的管理成本和契约额调整成本Ki和资产组合的协方差,它们共同组成顾客的信用风险和顾客资产组合的协方差，显然基于顾客资产的资本资产定价模型中比Sharpe-Lintner资本资产定价模型的分子多出一项。

7结论

通过引入信用风险率的概念，把契约中企业和顾客之间已经明确的收益率作为名义收益率固定下来。

传统的资本资产定价模型针对的是证券投资市场，随着该市场的发展，获得有关的历史数据是比较容易的。本文中，顾客资产具有契约性，企业可能和某些顾客有长期的合作关系，相关的历史数据也可以获得，而和另外一些顾客可能只有短暂的合作，这种情况下，缺乏历史数据资料，实际使用中需找出替代的方法。

注释：

①Equity在会计学中也可译为“所有者权益”、“普通股票”、“资产净值”等，而国外也有一些作者直接使用“custom asset”即“顾客资产”，如ChristianNeckermenn（2003）的论文“Customer Asset Management:Marketing’s New Path to Profitability”，以及John E Hogan（2002）等的论文“Linking Customer Assets to Financial Performance”.

参考文献：

[1]邵景波，张明立.国外顾客资产测量模型研究及启示[J].中国软科学，2006，（4）：148.

[2]吴佳斌.顾客资产的会计计量及质量分析研究[D].对外经济贸易大学，硕士，2007：6.

[3]郭多祚.数理金融[M].清华大学出版社，2006，8，第1版：74.

[4]徐焕章，谭文伟.基于会计等式的顾客资产构成及其含义[J].审计与经济研究，2008，1：52.