二阶系统的分析与设计

摘 要

本文通过 MATLAB 软件对二阶系统中不同参数下的阶跃响应进行了仿真与分析 。结果表明，利用MATLAB软件可以分析设计出满足不同要求的二阶系统，降低了设计复杂度，提高了设计效率，缩短了设计周期。

【关键词】二阶系统 阶跃响应 M ATLAB 仿真

1 二阶系统

二阶系统是 控制系统按数学模型分类时的一种形式，是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统，实际系统经常可以等效成二阶系统，下面对二阶系统的分析与设计进行讨论。二阶系统可以表示成标准形式

（1）

（1）式中，ωn 称为无阻尼自然频率，ξ 称为阻尼比。二阶系统的动态特性可以由 ωn 和 ξ 这两个参数描述。当0

系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，主要由超调量、上升时间和调整时间确定。超调量定义为阶跃响应中最大峰值与稳态值之间的相对误差，即 ，其中 c（t）表示系统的单位阶跃响应值，tp 表示峰值时间。上升时间 tr 定义为响应值从稳态值的 10%上升到 90%所需的时间 （有时也定义成从 5%到 95%，或从 0%到 100%）。调整时间 ts 定义为响应曲线达到并保持在容许误差范围（通常取 2%或 5%）内所需的时间。

2 二阶系统的单位阶跃响应与参数ξ的关系

设定 ωn=5rad/s，研究二阶系统的单位阶跃响应与参数 ξ 的关系，利用 MATLAB 执行后可以得到如图 1 所示的阶跃响应曲线。从图中可以看出，当 0

自然频率固定，阻尼比不同时二阶系统的阶跃响应

将自然频率固定为ωn =1，阻尼比的值分别设置成ξ=0，0.1，0.3，0.5，0.7，1，2可采用如下Matlab语句得到闭环系统的阶跃响应。

实验程序：

clear

t=0：0.01：10；

zeta=[0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，2.0]；

for i=1：length（zeta）

num=1；

den=[1，2*zeta（i），1]；

y（：，i）=step（num，den，t）；

end

plot（t，y，t，ones（length（t），1），'k-.'）

axis（[0 10 0 2.2]）

title（'Plot of Unit-Step Response Curves with ＼omega _n=1 and ＼zeta=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，2.0'，'Position'，[5 2.22]，'FontSize'，8）

xlabel（'Time（sec）'，'Position'，[9.8 -0.15]，'FontSize'，8）

ylabel（'Response'，'Position'，[-0.25 1]，'FontSize'，8）

text（3.5，2.0，'＼zeta=0'，'FontSize'，8）

text（3.0，1.77，'0.1'，'FontSize'，8）

text（3.0，1.42，'0.3'，'FontSize'，8）

text（3.0，1.2，'0.5'，'FontSize'，8）

text（3.5，1.08，'0.7'，'FontSize'，8）

text（3.0，0.75，'1'，'FontSize'，8）

text（3.0，0.48，'2'，'FontSize'，8）

3 二阶系统的单位阶跃响应与参数 ωn 的关系

设定 ξ=0.3，研究二阶系统的单位阶跃响应与参数 ωn 的关系，利用 MATLAB 程序执后可以得到如图 2 所示的阶跃响应曲线。从图中可以看出，当 ξ=0.3时，随着 ωn 的增大，系统单位响应的振荡周期变短，其调整时间也相应地缩短；当 ξ≥1时，系统变成临界阻尼或欠阻尼系统，这时也有类似的结论。

阻尼比恒定，自然频率不同时二阶系统的阶跃响应

将阻尼比ξ的值固定为ξ=0.3，可采用如下Matlab语句得到在各个自然频率ωn 取2，4，6，8，10，12时的闭环系统的单位阶跃响应。

>> w=[2：2：12]；

>> kos=0.3；

>> figure（1）

>> figure（1）

>> hold on

>> for wn=w

num=wn.^2；

den=[1，2*kos*wn，wn.^2]；

step（num，den）

end

>> title（'Step Response'）

>> hold off

4 结束语

文中简述了二阶系统的建模，然后利用 MATLAB 工具进行仿真，对电路中的参数变换进行验证.实际测量结果表明，经过该验证后的电路工作稳定，和仿真结果基本一致.所以电源仿真在电路设计过程中是十分必要的。

作者单位

呼伦贝尔学院物理与电子信息学院 内蒙古自治区呼伦贝尔市 021008