斜面上摩擦力做功的特点和推广应用

一、结论推导

如图1所示，一可视为质点的质量为m的物体由倾角为θ的固定斜面顶端A滑至底端B，设斜面的动摩擦因素为μ，斜面长度为s，底边长度为L。

则由A滑至B的过程中摩擦力对物体做的功为：

W=-F S=μmgscosθ=-μmgL

结论：物体沿斜面下滑过程中摩擦力做的功，相当于物体沿动摩擦因素相同的斜面投影的水平面滑动过程中摩擦力所做的功，如图2所示。

结论推广：物体沿粗糙程度相同的斜面由顶端下滑至底端过程中摩擦力做的功，与斜面倾角θ无关，而与斜面底边的长度有关。

如图3所示，物体沿斜面DB下滑和沿斜面AB下滑过程中，摩擦力做的功一样多。同理，如图4所示，物体由斜面顶端A点沿粗糙程度相同的1、2、3、4四条不同轨道滑至B点过程中，摩擦力做的功相同。（2、3、4轨道的转折点都是平滑连接的。）

图3 图4

二、结论应用

这个结论经常会在一些综合题中用到，学生要根据题意分析得出条件变化后摩擦力的功并没有发生改变。如果学生不知道这个结论，解题时就会无从下手。下面举两个例子。

[典型例题1]（2012・江苏四市调研）水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°的斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m。一质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.10，取重力加速度g=10m/s ，cos37°=0.8，sin37°=0.6，运动员在运动过程中可视为质点。

（1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a；

（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W 和到达C点时速度的大小v；

（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′。

[解析]（1）运动员沿AB下滑，受力情况如图所示。

F =μmgcosθ

F =μF =μmgcosθ

根据牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma

得到运动员沿AB下滑时加速度的大小为：

a=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s

（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：

W =μmgcosθ +μmgd=μmg（ +d）=500J

由动能定理得，mg（H-h）-W = mv -0

代入数据得运动员滑到C点时速度的大小：v=10m/s。

（3）在从C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，

由h′= gt ，解得t=

下滑过程中克服摩擦做功保持不变，即W =500J

根据动能定理得：mg（H-h′）-W = mv -0

解得v=

运动员在水平方向的位移：

x=v-t= =

当H-h-h′=h′时，水平位移最大，即h′= =3m。

[点评]本题第二步求解克服摩擦力所做的功W ，为第三步改变水平滑道高度h后下滑过程中克服摩擦做功保持不变做好了铺垫。学生若没有掌握好斜面上摩擦力做功的这个特点，就会对第三步中摩擦力做功的求解带来困难。

[典型例题2]（2011・杭州二模）为了解决高楼救险中云梯高度不够高的问题，可在消防云梯上再伸出轻便的滑竿。如图为一次消防演习中模拟解救被困人员的示意图，被困人员使用安全带上的挂钩挂在滑竿上、沿滑竿下滑到消防云梯上逃生。为了安全，被困人员滑到云梯顶端的速度不能太大，通常滑竿由AO、OB两段直杆通过光滑转轴在O处连接，滑竿A端用挂钩钩在高楼的固定物上，且可绕固定物自由转动，B端用铰链固定在云梯上端，且可绕铰链自由转动，以便调节被困人员滑到云梯顶端的速度大小。设被困人员在调整好后的滑竿上下滑时滑竿与竖直方向的夹角保持不变，被困人员可看做质点、不计过O点时的机械能损失。已知AO长L =6m、OB长L =12m、竖直墙与云梯上端点B的水平距离d=13.2m，被困人员安全带上的挂钩与滑竿AO间、滑竿OB间的动摩擦因数均为μ=5/6。被困人员到达云梯顶端B点的速度不能超过6m/s，取g=10m/s 。

（1）现测得OB与竖直方向的夹角为53°，请分析判断被困人员滑到B点是否安全。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（2）若云梯顶端B点与竖直墙间的水平距离保持不变，求能够被安全营救的被困人员与云梯顶端B的最大竖直距离。

[解析]（1）设OA、OB与竖直方向的夹角分别为α、β，由几何关系知：

d=L sinα+L sinβ α=37°

AB高度差h =L cosα+L cosβ=12m

对被困人员下滑全过程由动能定理得：

mgh -μmgL sinα-μmgL sinβ= mv

既：mgh -μmgd= mv

解得：v =2 m/s

因v

（2）设滑竿两端点AB的最大竖直距离为h，对被困人员下滑全过程由动能定理得：

mgh-μmgL sinα′-μmgL sinβ′= mv ，其中v=6m/s

得d=L sinα′+L sinβ′ 解得：h≤12.8m

若两杆伸直，则AB间的竖直高度为：

h′

h′= m=12.24m

因为h′

[点评]本题中，不论AO、OB的倾斜角度多大，只要d保持不变，被困人员下滑过程中的摩擦力的功就保持不变，所以第二步中AO、OB的倾斜角度未知，并不影响求出摩擦力的功。