时间：2022-10-06 08:15:03
摘要：将简化的双线性方法进行了推广，并运用这种方法获得了变系数Burgers方程的N孤子解。
关键词：双线性方法；变系数Burgers方程；N孤子解
中图分类号：TP311 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 24-0000-01
N-soliton Solution of Variable Coefficient Burgers Equation
Xia Hongming
(School of Mathematics and Statistics Tianshui Normal University,Tianshui 741001,China)
Abstract:The simplified bilinear method is extended,and use this method to obtain N-soliton solution of the Burgers equation with variable coefficients.
Keywords: Bilinear method;Variable coefficient Burgers equation;N-soliton solution
一、引言
自然界中的绝大多数实际问题的数学模型是变系数的微分方程，变系数模型比只表达高度理想状态的常系数模型能更有效地揭示实际问题的物理机制，而具有更为广泛的应用前景，因此，对于变系数非线性发展方程，尽管研究起来更为复杂，但对此人们更感兴趣。
形如
（1）
的方程称为Burgers方程[1]，它包含非线性项和耗散项（粘性、热传导或扩散）， 称为耗散系数。Burgers方程通常用于描述粘性介质的声波、有限电导的磁流波和交通流等，更一般的变系数Burgers方程的形式为：
，（2）
有人采用齐次平衡法[2]、双曲函数法[3]、辅助方程法[4]、F展开法[5]等，这些方法所得到的结果为非线性现象的研究提供了重要的理论依据。但是，这些方法都只能求解一些特殊类型的孤子方程，因而缺乏普遍适用性。因此，寻找求多孤子解的方法依然是一个很有意义的课题。
二、方法简述
设方程
（3）
为KdV型方程。不妨设方程（3）的系数为常数或者是与 有关的函数，则设
， （4）
把（4）式代入方程（3）的线性项，确定函数 与 的关系（即色散关系）；再设方程（3）的单孤子解为
（5）
或者
， （6）
其中 为待定函数， ， 。把（5）式或（6）式代入方程（3），可以确定函数 ，从而求出了方程（3）的单孤子解．
求方程（3）多孤子解的步骤如下：
1．设
， （7）
代入方程（3）中的线性项，确定色散关系．
2．设方程（3）的单孤子解为
， （8）
3．设方程（3）的双孤子解为
， （9）
4．设方程（3）的三孤子解为
（10）
将（9）式代入方程（3），如果 存在，则方程（3）有双孤子解；将（10）式代入方程（3），如果 存在且 ，则方程（3）有三孤子解，且方程（3）是可积的。
上述步骤可以继续直至求出方程（3）的 孤子解。
三、变系数Burgers方程的N孤子解
对于方程（2），本文将在 （ 为非零常数）的条件下求它的N孤子解。设
（11）
代入方程（2）的线性项，解得色散条件为
， （12）
则有
（13）
再设
，（14）
其中 ， ．把（14）式代入方程（2），解得 ，故方程（2）的单孤子解为
．
设方程（2）的双孤子解具有
（15）
的形式，其中 ， ．把（15）式代入方程（2），解得 ，即
，（16）
把（16）式回代到（15）式，就得到了方程（2）的双孤子解。
类似地，为了求得方程（2）的三孤子解，可设
，（17）
把（17）式代入（15）式，再把（15）式代入方程（2），可得
，（18）
其中 ．把（18）式回代入（17）式，再回代入（15）式，就得到了方程（2）的三孤子解。（18）式还表明，当 （ 为非零常数）时，方程（2）是完全可积的。
重复上述求解过程，可以求得方程（2）的 孤子解，它可以表示为
． （19）
其中对数符号 后对 的求和取 的所有可能的组合，
．
A.M.Wazwaz用简化的双线性方法求出了许多常系数KdV型方程的 孤子解，本文将这种方法进行推广并求出了变系数Burgers方程的 孤子解，就我们所知，用这种方法求变系数孤子方程的结果还未见到，事实上，这种方法还可以计算其它变系数孤子方程的 孤子解，这里不再赘述．
参考文献：
[1]潘祖梁.非线性问题的数学方法及其应用[M].杭州:浙江大学出版社,2002
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[4]许晓革.非线性发展方程的变系数均衡作用法与变系数Burgers方程的解[J].数学的实践与认识,2005,35(1):23-27
[5]许丽萍等.变系数Burgers方程新的精确解[J].青岛科技大学学报,2006,24(2):186-188