随机微分方程在人口预测中的应用

【摘 要】 本文对中国总人口数量构建随机Logistic模型，结合历史数据估计了模型参数，利用该模型对中国总人口数量进行了预测，预测结果较好。

【关键词】 随机微分方程 极大似然估计 随机Logistic模型

人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提之一。

假设人口增长服从Logistic模型：

（1）

其中假设其中人口增长率受到某些随机因素的影响，满足，其中代表标准的布朗运动，是白噪声，是白噪声强度。那么人口增长过程可以用如下随机微分方程来描述：

（2）

1 参数估计

李群[1]在已知或者可以估计出的条件下，给出了和的极大似然估计（取情形）：

（3）

其中：，，

。

其中环境最大容量是常数，于是假设不受随机扰动的影响，利用常微分方程估算出来的的值可以用于随机情形。在这里直接对（2）式所对应的（1）式对用数据拟合。

选取1990-2013年全国人口总数（万）来估计参数，数据[2]如表1：

由赵静[3]拟合可得环境容量=143654.342，=0.01021501845 98，=0.06633254401474。

2 模拟仿真

将所得模型离散化，时间间隔取1年，得到：

，

其中为标准布朗运动在一个单位时间的增量。

通过编写Matlab[4]程序将参数带入模型进行计算可以计算出人口的拟合值：

从表2可以看到误差百分比（绝对值）都大概在0.2%左右，并且计算得到其平均值是0.2056%，模型拟合的效果非常好，利用此模型来对未来人口数量进行预测（如表1）。

图形中用’+’表示真实的人口数据，连线表示从1991年到2013年的拟合值，后面的’o’表示对未来10年（2014年到2023年）的预测值（见图1）。

3 结论与展望

通过所给数据和图形的结果可以看出，由于人口会经常受到环境白噪声的干扰，随机Logistic模型的拟合效果相当好，同时也可以看出随着时间的推移和人口的增长，人口的自然增长率呈现出负指数的下降趋势，并逐渐趋近于零，人口在十年后趋近于13.9557亿左右。而加入了随机扰动之后的Logistic模型对于预测有了更好的效果，通过检验可以看出模型的拟合效果非常显著，同时可以看出人口在二十年之后会向14.1亿左右趋近并得到平衡。

参考文献：

[1]李群.一类随机微分方程的参数估计[M].应用数学.2012，25（4）：771-776.

[2]http：///tjsj/.

[3]赵静等.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]Desmond J. Higham An Algorithmic Intr oduction toNumerical Simulation of Stochastic Differential Equations .SIAM REVIEW.2001，43 （3）： 525-546 .