广义实正定矩阵

【摘要】自1970年Johnson C.R.首次给出广义正定矩阵的概念以来，学者们历经39年的艰苦研究历程，产生了许许多多更加广义的正定矩阵，获得许多丰富的研究成果。可是，他们对广义正定矩阵的研究，众说纷纭，各执一词，使得正定矩阵的阵容不断扩大，广义度不断增强，到头来何为正定矩阵，没了一个统一的标准。为改变这种现状，本文给出一种公理性的广义正定矩阵的定义，并对新意义下广义正定矩阵的若干性质进行了分析和研究。希望为广义正定矩阵概念的规范化探出一条新路。

【关键词】正定矩阵 实对称矩阵 ()-正定因子 C-因子 A-因子

Generalized Real Positive Definite Matrices

Hu Ming

【Abstract】Since Johnson C.R. gave the concept of Generalized Positive Definite Matrices for the first time in 1970, the scholars, after 39 years’ tough research, have put forward many more generalized positive definite matrix and acquired huge achievement. Yet, they had different saying in the research of generalized positive definite matrix, which has widened the definition of generalized positive definite matrix, so ultimately they could not reach an agreement in what generalized positive definite matrix is. In order to change the situation, this article is to give the definition of an axiomatic generalized real positive definite matrices and make analysis into some of the quality of generalized positive definite matrix under the new definition. It wishes to find a new way for normative research into the concept of generalized positive definite matrix.

【Keywords】Positive definite matrix Real symmetric matrix ()-positive definite factor Changeless factor Alterable factor

若无特别声明，本文用R表示实数域；用 表示实数域上 矩阵的全体；若 ，则 表示A的转置；O表示零矩阵； 表示n阶单位矩阵； 表示n阶单位矩阵交换(i, j)行后得到的初等矩阵； 表示n阶正对角矩阵的全体； 表示n阶实对称矩阵的全体； 表示n阶实反对称矩阵的全体； 表示空集；符号“ ”表示等价；“ ”表示蕴含。

1．广义正定矩阵发展历程简述。实正定矩阵的概念最初出现在二次型的研究中，其初始定义是：

定义1、n阶实对称矩阵A称为正定的，如果 有 。本文把这种正定矩阵称为S+-正定矩阵，n阶 -正定矩阵的全体记为 。

随着数学本身的发展和其它学科应用的需要，许多学者突破常规，研究矩阵的正定性，因而产生了一系列更加广义的正定矩阵，1970年，Johnson.C.R首先提出了广义正定矩阵的概念。

定义2[1]、设 ，矩阵A称为正定的，如果 有 。本文把这种正定矩阵称为J-正定矩阵，n阶J-正定矩阵的全体记为 。

1984年，佟文廷在前一概念的基础上，对矩阵的正定性作了如下推广。

定义3[2]、设 ，矩阵A称为正定的，如果存在正对角矩阵D，使得 有 。本文把这种正定矩阵称为D-正定矩阵，n阶D-正定矩阵的全体记为 。

1985年李炯生在《实方阵的正定性》[3]一文中，系统地分析了广义正定矩阵的若干性质，尽管他没有在文中正式提出新的广义正定矩阵的概念，但他为后人的研究奠定了较为坚实的基础。

到了1988年，夏长富的研究使矩阵的正定性又有了新的含义。

定义4[4]、设 ，矩阵A称为正定的，如果存在 ，使得， 有 。本文把这种正定矩阵称为X-正定矩阵，n阶X-正定矩阵的全体记为 。

1990年，屠伯埙给出了亚正定矩阵的概念，在矩阵理论中又添新词。

定义5[6]、设 ， ，其中 ， ，如果 ，那么称A为亚正定矩阵。本文把n阶亚正定矩阵的全体记为 （这里的K称为A的对称分量，H称为A的反对称分量，并且这种分解式是唯一的）。

杨仕椿、吴文权于2005年对矩阵的正定性再一次进行了推广，提出如下定义。

定义6[7]、设 ，矩阵A称为正定的，如果存在 使得 有 。本文把这种正定矩阵称为Y-正定矩阵，n阶Y-正定矩阵的全体记为 。

2007年米永生对矩阵的正定性又赋予了新的内容。

定义7[8]、设 ，矩阵A称为正定的，如果存在 ，且 使得 有 。本文把这种正定矩阵称为M-正定矩阵，n阶M-正定矩阵的全体记为 。

2．广义正定矩阵的公理性定义。关于广义正定矩阵的专题研究，众位学者经历了三十九年（从1970年算起）艰苦的研究历程，获得了许许多多很有价值的研究成果，可遗憾的是，什么是正定矩阵（广义的），没有一个统一的说法，学者们都在不断地扩大矩阵正定性的范围，每一个新出现的正定矩阵类都严格地包含以往的正定矩阵类，如今发展到负单位矩阵可以是正定矩阵的地步了（n为偶数的时候 ，因此， 有 ，所以 ）。

本文作者在对众学者研究的成果进行分析和研究的时候发现，所有的广义正定矩阵有如下几个共同特征：

定理1、（1） 是广义正定矩阵的充分必要条件是：存在矩阵 （当然Z是具有某种特殊性质的），使得 有 ；

（2） 是广义正定矩阵的充分必要条件是：A是可逆矩阵，并且 以及 仍然是同类的广义正定矩阵。

定理2、设 ，那么

（1）存在正对角矩阵D以及 ，使得存在正对角矩阵D1以及 使得 ；

（2）存在 以及 ，使得存在 以及 ，使得 ；

（3）存在 以及 ，使得 ；

（4）存在 ，使得 ， ，并且 。

以上结论表明：广义正定矩阵是广义J-正定矩阵和一个恰当矩阵的乘积。

纵观学者们对广义正定矩阵的研究，全都是围绕这个“恰当”的矩阵“因子”展开的。既然如此，本文对这个“恰当”的矩阵“因子”给出如下定义：

定义8、设 是矩阵的某种性质， ，A称为关于性质 的可正定化因子（简称A为 -正定因子），如果满足条件：（1）A具有性质 ；（2） ；（3） 具有性质 ；（4） 具有性质 。n阶 -正定因子的全体记为 ，称它为 -正定因子类。并规定： 。

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许多学者的研究成果已经表明： 以及 都是 -正定因子类。

定义9、设 是一给定的正定因子类， ，矩阵A称为正定的，如果存在 ，使得 有 。本文把这种正定矩阵称为 -正定矩阵，n阶 -正定矩阵的全体记为 。

有了定义9，定理2的结论可概括为：

定理3、（1）存在 以及 ，使得 ；

（2）存在 以及 ，使得 。

证明：（1）若 ，那么存在 ，使得 有 ，于是， ，所以 ，由Z的性质可知， 。

反之， 以及 ，假定 ，那么 ，于是， ，有 ，而此时， ，所以 。

（2）若 ，则存在 ，使得 有 ，于是， ，即 ，所以 ，所以 ，由Z的性质可知， ，所以 ，于是，存在 以及 ，使得 ，所以 ，其中 ， 。

反之， 以及 ，假定 ，那么 有 ，于是，

，有Z的性质可知 。

定理4、如果 ，那么（1） ；（2） ；（3） ，所以 是 -正定因子类。

证明：若 ，则存在 以及 ，使得 ，所以 ，其中 ， 所以 ，由此A可逆，所以 ，注意到： 、 以及定理3（2），可以得到 ，而 在定理3的证明中就已经得证了。

根据以上分析，本文再引入一个记号：

设 ，记

。

因此 ，并且，另外 ； ； ；

以上的分析，进一步说明，广义正定矩阵其实就是一类特殊矩阵与另一类特殊矩阵的乘积，只是两种类型的矩阵中，有一个始终不改变总体特征性质（因为它始终属于 ），为此，本文再给出如下定义：

定义10、在 -正定矩阵的分解式 或 中，B称作性质不变因子，简称C-因子，Z称作性质可变因子，简称A-因子。

那么 -正定矩阵的性质完全取决于这两个因子的性质了。

实对称正定矩阵有一个良好性质：正定矩阵之和仍然为正定矩阵。可是这一性质对广义正定矩阵来说，是不一定成立的。

例1：设 ， ，存在 ， 使得 以及 都是 -正定矩阵，自然 ，所以 ，但是 ，因此 。

由于 ，因此， 关于矩阵的加法都不具有封闭性。

但是，在特定条件下，有

定理5、（1）设 是给定的A-因子，记 ，那么， 关于矩阵的加法构成加法半群，并且 ，特别 ，因此 ；

记 ，那么， 关于矩阵的加法构成加法半群，并且 ，特别 。

（2）设 是给定C-因子，记 ，那么 ，特别， ，因而 ，并且 关于矩阵的加法构成加法半群当且仅当 关于矩阵加法是封闭的。

记 ，那么 ，特别， ，并且 关于矩阵的加法构成加法半群当且仅当G(*)关于矩阵加法是封闭的。

（3）如果存在 ，使得 ，那么 （真子集）；如果存在 ，使得 ，那么 （真子集）。

证明：（1） ，存在 ，使得 ，注意到， 关于矩阵的加法是加法半群，于是 ，所以

所以， 是加法半群。

另一方面，因为 ，所以Z可逆，所以 ，这说明在 与 之间可建立一一对应的关系，因此 ；

因为 ，有 ，而 ， ，由定义有 ，所以 。

同理可得 的相应结论。

（2）同样的道理不难验证 以及 （因为 ）；

，存在 ，使得 ，于是

由于 ，因此B是可逆的，所以， ，于是 与 关于矩阵加法的封闭性是一致的。

同理可得 的相应结论。

（3）根据（1）和（2）的结论不难得到（3）的结论。

定理5说明：由某个A-因子生成（假如也用“生成”这个词）的正定矩阵类 和 是加法半群，于此同时， 是加法半群当且仅当任意C-因子B生成正定矩阵类 和 是加法半群。

另外，定理5再一次说明了广义正定矩阵是两个都可以称作“广义正定矩阵”的矩阵之乘积。关键的问题是：这个“积”会产生什么样的性质？哪些性质可传递（因子有的性质，积也有），哪些性质不可传递，会产生哪些新的性质等等。

本文在后续的研究中，将逐个解决这些方面的若干问题。

前面的例1已经说明，矩阵加法的封闭性是不可传递的。

定理6、（1）若A-因子Z具有性质：B是C-因子是C-因子，则 。

（2）设Z是A-因子，则

证明：（1）存在C-因子B使得存在C-因子B使得

（因为 是C-因子）。因此，

（2）存在C-因子B使得存在C-因子B使得

（因为， ）。

定理7、

证明：若 ，那么存在 ，使得 ，那么，

反之，若 ，那么存在 ，使得 ，所以

所以

定理8、如果 具有正交相似封闭性（也就是：若Z为A-因子，则对任意正交矩阵 ，有 仍为A-因子），那么 具有正交相似封闭性。

证明：若 ，那么存在A-因子Z以及C-因子B，使得 ，因此对任意正交矩阵 ，有 ，注意到 仍然是A-因子， 仍然是C-因子，所以 。

值得指出的是：（1）不是所有的正定因子类 都具有正交相似封闭性的。

例2： 是正定因子类，但它不具有正交相似封闭性，这是因为， 是正对角矩阵，令 （ ），那么，U是正交矩阵，但是， 不是正对角矩阵。

另外，令 ， ，不难验证 ， ，因此， ，但是 ，事实上， ，有 。因为 ，所以存在 以及正交矩阵U，使得 ，于是存在 ，但是 ，因此， 也不具有正交相似封闭性。

（2）具有正交相似封闭性的正定因子类 是存在的。

例3： 以及 都具有正交相似封闭性。

定理9、如果 具有合同变换封闭性（也就是：若Z为A-因子，则对任意可逆矩阵 ，有 仍为A-因子），那么 具有相似变换封闭性（也就是：若 ，则对任意可逆矩阵 ，有 ）。

证明：存在A-因子Z以及C-因子B，使得存在A-因子Z、C-因子B以及任意的可逆矩阵 ，使得任意的可逆矩阵 ，有 。

值得指出的是：例2的后半部分说明， 不具有正交相似变换封闭性，当然 更不具有相似变换封闭性，而 ，根据定理9， 肯定不具有合同变换封闭性。事实上，例2的前半部分足以说明这一事实。

由于 以及 都具有合同变换封闭性，因此 以及 都具有相似变换封闭性（其中， ， 为A-因子类）。

关于实对称正定矩阵，还有许多良好的性质，比如：所有主子式都是正值的；所有主子阵都是正定的；所有特征值都是正实数等等。

可是，当我们把正定矩阵的意义加以推广之后，不是所有的广义正定矩阵都有这些性质。

例4： ，存在 使得 ，这是因为 ，有

这说明 ，但是，A的一阶主子阵 不可能成为X-正定矩阵，这是因为 。

当然，当 或者 时，有“A的所有主子式是正值的；A的所有主子阵是正定的”，但是A的特征值不一定都是实数”（见文[1]~[8]）。

对C-因子而言，若B为C-因子，则 （正实数）有： 仍然为C-因子。这两个性质对于 -正定矩阵来说，前者是可传递的，后者在一定条件下才是可传递的。

定理10、（1）若 ，则 有

（2）若 ，那么 以及 有 。

证明：（1）因为 ，所以存在 使得 ，所以 ，而当 时， ，所以 。

（2）若 ，那么存在 使得 ，所以 ，有 ，又因为 ，所以 ，所以 。

如果 不成立的话， 就有可能不成立（ ）。

例5：设 ，令 （见例4）， ， ，那么 ，但是， ，这是因为 。

参考文献

1 Johnson C.R. , Positive definite matrices[J] , Amer. Mathe. Monthey , 77(1970):259～264

2 佟文廷.广义正定矩阵[J].数学学报.1984.27(6):801～810

3 李炯生.实方阵的正定性[J].数学的实践与认识.1985. 15(3):67～73

4 夏长富.矩阵正定性的进一步推广[J].数学研究与评论. 1988.8(4):499～504

5 顾安娜.关于广义正定矩阵[J].数学的实践与认识.1994. 2:48～50

6 屠伯埙.亚正定阵理论( I ) [J].数学学报.1990.33(4): 462～471

7 杨仕椿、吴文权.关于广义正定矩阵进一步推广[J].数学的实践与认识.2005.35(5):146～150

8 米永生.广义实正定矩阵的进一步研究[J].绵阳师范学院学报.2007.26(8):25～26

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