要把“题”想透彻

1.数学解题四步曲

面对一道我们想去做的数学题，我们该怎么去想呢?以《要把“式”写明白――小学数学语言教学浅谈之二》(见本刊2007年11月号)中的第二题为例：今有鸡兔同笼，头三十而脚一百，问鸡兔各几何?

思维过程大致是这样的――

一、这题是什么意思：要我们求什么?它给了什么已知数?有什么要求?

答：要我们求几只鸡、几只兔；已知数是：鸡兔总共30只(头三十)，脚总共100只(脚一百，隐含的已知：鸡二足、兔四足)；要求(隐含条件)：求出的答案是整数，

二、打算怎样解?一只鸡比一只兔少2只脚，如果知道30只鸡比30只“鸡兔”少了多少只脚，就可以用除法算出兔数，

三、解解看!所有兔抬起前腿，脚减少(100-30×2)只，每只兔减少(4―2)只，所以

兔数：(100-30×2)÷(4―2)

=40÷2

=20(只)

鸡数：30―20=10(只)

四、反思：答案对吗?(检验)头数：10+20=30(个)，脚数：10×2+20×4=100(只)，也可先求鸡数，

鸡数：(30 x 4-100)÷(4―2)

=20÷2

=lO(只)

兔数：30-10=20(只)

方法能否用在别的题中?(变题)由此题能否概括出一个公式?

这就是数学解题四步曲：弄清题意，拟定方案，执行方案，检验回顾，美国著名数学教师波利亚(他也是数学家、数学教育家)从长期的教学(对学生的解题过程的观察)、研究(对自己解题过程的反思)中，概括出这四个步骤，制定出“解题表”，写成名著《怎样解题》，教师们可以进行研究、使用，也可向学生推荐。

2.一把双刃剑

仔细分析解题四步骤，每一步都涉及数学语言的运用，如弄清题意，这里有一个小故事。

有一次，我们去观摩一位老师的课，内容是应用题，讲例题时，老师把例题亮出来以后，一再强调仔细审题，把题意搞清楚，然后她开始讲题意：先大声读一句，再小声慢读，算是对大声读的句子的解释，继而再读下一句，……当有的学生还不懂时，她再重复做一遍，三遍过后，大家都“明白了”，才列出算式，算出结果，课后我们问她什么是题意，她的回答很“妙”：不就是题的意思嘛!

同语反复式的回答，说明她不明白什么是题意，事实上，一道数学应用题，往往由已知数、未知数(要求的数)、已知数和未知数之间的联系、已知和未知的限制条件、有关的说明、解题指令等构成其中的主要部分就是已知、未知和条件，因此，弄清题意这一步骤，就是弄清已知数是什么?未知数是什么?条件是什么?在这里，已知、未知和条件，往往用日常文字语言描述，因此“弄清”的意思，在于把它们转化为图形或符号构成的数学语言，弄清其数学含义，这里关键在于熟知日常语言的数学含义(由数学语言表述的)。

拟定方案(你打算怎么解)和执行方案：拟定的方案往往是由日常语言表述，逐渐过渡到数学语言表述，而执行时全然是用数学语言。

检查回顾，则两种语言兼用，最终归结为数学语言。

可见，思考和解答数学题，数学语言须臾难离，对学生的长期观察(特别是对优等生和学困生的对比分析)使我们认识到数学语言确实是一把双刃剑：优等生对数学语言学习入门快，掌握得好，能准确、快捷地完成转化，迅速列式求解，数学语言成为他们手中的利器，反之，学困生往往数学语言没有过关，对很多日常用语不解其数学含义，从而很难化成数学语言，列式既难，则求解无望，这样，数学语言事实上成了他们解题的拦路虎因此，我们猜想，很多人共识的应用题难教难学如果属实的话，那么难就难在日常语言向数学语言的转换。

3.一道蹊跷的算术题

为了进一步说明解题的语言转换问题，我们看一道算术题(这是小时候数学老师留的思考题)：一个老太太挎着篮子卖鸡蛋，第-人买去一半零半个，第二人买去剩下的一半零半个，第二人买去前两人剩下的一半零半个，正好买完，问原有鸡蛋多少个?

要求的很明确――篮子里原来的鸡蛋数，但已知数是什么?怎样把它变成数学语言?事实上，已知数只有一个(由正好买完转化来的)：0，其他已知“第一人”、“第二人”、“第二人”、“一半零半个”则是我们要求的那个数的缩减方式和过程。

题意弄清了吗?就算是吧!(很多数学题都是这样，在未解出之前，不可能彻底明白)怎样解呢?已知数0是我们要求的那个数通过3次缩减变来的，那么就要从0出发，倒退着，让它增大3次，还原成那个数，

这条思路(方案)看来不错，我们试试看。

O是什么?第三人买走一半零半个后，剩下的鸡蛋数，他拿走最后半个之前鸡蛋数是(0+1/2)(个)，而这(0+1/2)又等于他买的那一半(1/2)，所以第三人买走的是(0+1/2)x2=1(个)，这也是第二人剩下的，

同样的分析可知：第一人剩下的是(1+1/2)×2=3(个)；篮子里原有鸡蛋为(3+1/2)×2=7(个)，写成综合算式是

{[(0+1/2)×2+1/2]×2+1/2}×2=7(个)

检验：第一人买走7×1/2+1/2=4(个)，第二人买走(7-4)×1/2+1/2=2(个)，第三人买走(7-4-2)×1/2+1/2=l(个)，1+2+4=7(个)，答案正确

反思：如按同样的方法，4个人买完，鸡蛋数为7×2+1=15(个)，5个人买完是15×2+1=31(个)，

我们分析一下语言的转换和对日常语言数学含义的理解(这里是对过程的逆向理解)：买完――余下的是0；“买走一半零半个”：将剩下的数加上1/2再乘以2，就是前面剩下的数，如第三人买后剩下的为0，则第二人买后剩下的为(0+1/2)×2=1，第一人买后剩下的为(1+1/2)×2=3，等等，整个解题过程就是一个对日常用语数学含义的理解向数学语言转换的过程，不少人面对此题束手无策，就是这里没有过关。

4.教学策略

知道了应用题求解中的困难所在，就知道该用怎样的策略来攻克了，我们大致考虑了这样几条，

(1)运用由波利亚“解题表”展示一般解题方法，我建议所有的数学教师都读一读《怎样解题》一书，国内外许多人都立下雄心壮志，要“超波利亚”，但据我们所知，到目前为止，真正达到波利亚水平者几乎没有，可悲的是一些人不慎滚入题海，难以自拔，波利亚的一般解题方法，既是日常解题、培养良好的常规思维的佳途，又是攻克中考题、高考题、IMO问题、培养创造性思维的利器。不可多得，对于算术应用题的教学。肯定是“帮你没商量”。

(2)澄清算术、代数应用题中一些常用词的数学含义，在应用题的表述中，由于日常语言的模糊性、多义性，缺少数学的加工(定义)，学生往往造成误解，凡遇此类，老师应“举例+说明”，予以澄清，其中如：

①“每隔**年”和“每**年”混淆，曾造成儒略历的大错。

②一组描述变化的词，如增加、减少、扩大、缩小等易出错，特别地，如增加与增加了相同，但与增加到不同，增加、减少，应是同类的量；扩大、缩小应与倍数、几分之几、百分数相配，如2变为6，可以说增加了4，也可以说扩大了2倍或扩大到3倍，但说增加了2倍则不妥。又如4变为2，可说减少了2或缩小为原来的1/2，说减少1/2或减少2倍则不妥。

③行程问题，行程问题中的相向、相背、同向等，钟表问题两针(三针)的行进速度等，往往有歧义，

(3)不妨请字母帮帮忙，有些较繁难的、拐弯较多的应用题，由于逆向思维难以奏效，而求解公式又难以解释，因此，不妨用方程探路，例如，以鸡兔同笼为例：今有鸡兔同笼，头三十而脚一百，问鸡兔各几何?

设有鸡x只，兔y只，则

x+y=30，

①

12x+4y=100，

②

由①x4-②得：(4-2)x=4×30-100，所以x=(4x30-100)÷(4-2)，y=30-x，

只要保留式中的已知数，不要算出来，最后就是算术解法的列式，然后再解释，一般都会奏效，这可作为教师解疑答难的秘密武器，也可教给程度好的学生和高年级学生，如果修改后的课标中仍有“简易方程”这一内容，那就引导学生“用新刀断旧麻”(用方程解做过的算术应用题)，则必有新感受。