意料之外的交流

数学教学过程必然伴随着数学交流，数学交流主要指：教师与学生之间的交流；学生与学生之间的交流；学生与教材及各种教学媒体之间的交流；学生与所学知识之间的交流等，而教师与学生之间的交流尤为重要.在数学教学和学习过程中，学生通过与教师之间进行数学交流活动，在老师的引导下，进行自主探索，突出学生的主体地位.也就是在数学交流过程中，教师把学习的主动权交给学生，让学生有自主的学习时间和空间，更多地参与教学活动，真正让学生成为教学学习过程的主体，数学交流活动必将成为培养学生自主创新能力的主要活动形式之一.

下面是笔者在进行“可化为一元一次方程的分式方程的解法”教学过程中，在与学生数学交流活动时，学生发现了用“分式的值为0求未知数的值”的方法来解分式方程.这是笔者在教学设计中所没有想到的，完全在意料之外.

在学习分式方程的概念后，进行“可化为一元一次方程的分式方程的解法”的一个教学交流片段.

师：我们以前学过解一元一次方程，今天的分式方程又如何解呢？（我想通过已掌握的知识来解决新的问题，这是教师常用的一种教学手段和方法，也是要求学生所具有的一种数学学习能力.）

生：一元一次方程是整式方程，那我们只要将分式方程化为整式方程就可以解了.（这位学生通过两概念的不同点的比较，发现了转化的通道.）

师：很好！那么如何将分式方程化为整式方程呢？（及时鼓励和表扬将调动学生进一步探索的积极性.）

生：去掉分式方程中的分母.

师：好，接下来我们一起来研究如何去掉分母？同学们可以相互讨论.（把学生拉到探究新知的过程中来，而不是让学生等待老师的讲解，被动接受.）

（学生热烈讨论，教师游走在学生中间，倾听他们的讨论，讨论结束.）

师：下面请同学代表回答如何去掉这个分式方程中的分母.

生：两边同乘以 （x2-1）.

师：你们是怎么想到两边要同乘以（x2-1）的？

生：因为（x2-1）可分解为（x-1）（x+1），当两边要同乘以（x2-1）时，左边的分母（x-1）可约去，剩下（x+1） ；右边的分母（x2-1）刚好约掉.

师：好！我们把两边同乘以能把分式方程中的所有分母都约去的整式称为公分母，这个公分母最好取最简公分母.下面请同学们来解这个方程.（因最简公分母在分式的加减中已广泛运用，故在此不作解释.）

（教师请一个学生在黑板上解答.）

解：方程的两边同乘以（x2-1），得：x+1=2.

解这个方程得：x=1.

师：同学们请对照一下，这位同学解得正确吗？

（大部分学生齐声回答：“正确.”）

生：不对！不对！当x=1时，分式方程中的两分母（x-1 ）与（x2-1）都等于0，没有意义.（这正是我想要的提问，接下来就可顺理成章地讲解分式方程的验根的必要性和验根的方法.）

（所有学生想想也是，沉默思考……教师正想讲验根时，突然有学生发言.）

生：不用去分母，将右边的分式移到左边进行通分就可以了！（这是我事先没有想到的，完全在意料之外，也只好将验根的事放在一边，让学生试着去做.）

师：那我们按这位同学的方法做做看.

（学生马上在纸上动手做了起来.）

生：右边的分式移到左边通分后得 ，分式的值等于0，只要分子等于0，得x=1，但分母不能为0，所以x=1应舍去，即没有这样的x的值能使这个方程成立.（这是刚学过的一个知识点：分式的值为0，则分子等于0且分母不等于0.符合知识就近应用原则.）

生：通分后还可约分，得 ，因分子为1，故没有这样的x的值能使这个方程成立.（这位学生显得很兴奋，没等我讲评上一位学生的解法，就迫不及待地回答.）

师：好！很好！既然没有这样的x的值能使这个方程成立，我们就说这个方程无解.（我很激动，想用更动听的词来表扬这些学生.）

仔细一想，这样解分式方程，就可以不验根了，这不是一种很好的分式方程的解法吗！

师：现在，我宣布，我们把这种分式方程的解法称为“学生××解法”.（至今在解分式方程时，我仍称这种解法为以他们的名字命名的解法.）

……

反思：

1.学生在教学过程和学习过程中都应该成为真正的主体.这是本人在教学设计过程中没有想到的一个场景，如果教师急于把验根的方法过程讲授给学生，与之后面的交流结果相比显得毫无意义.这一幕让我深刻地认识到，学生才是学习的主体，要多留一些时间和空间给学生进行交流，也就更多地给学生创造发现的机会.

2.教师在教学过程中的引导作用也不可忽视.突现学生的主体地位确实很重要，但要是没有教师的合理引导，那将会扼杀学生的创新精神.在以上案例中，若在学生提出另一种解法后，教师不及时引导，仍按自己的教学设计讲授验根的必要性和方法，那可能会失去一次让学生自己发现另一解法的机会.即使教师在教学后发现这一方法，并在课后弥补，与案例中出现的结果不可同日而语.即使学生的想法是错误的，也不要一棒打死，分析错误原因，避免以后类似错误的出现.所以，教师在与学生的交流中，在给学生充足的交流时间和空间的同时，应积极起好引导作用.

3.更多的鼓励和表扬更有利于数学交流的有效展开.由于受传统教学思想的影响，学生一直处在被动的学习状态，教师教的都是对的，不可更改的，学生很少有机会发表自己的思想和观点.所以教师更应鼓励学生发表自己的想法，并及时给予表扬，这样才能让学生敞开智慧之门，大胆地与教师展开数学交流.以上案例中，多处出现了“好”、“很好”的词，并把分式方程的这种解法以他们的名字来命名，这就是一种很好的鼓励和褒奖.这在以后的教学中更好地开展数学交流起到了积极的作用.

总之，在数学教学和学习中，应积极地展开数学交流活动，相信在数学交流活动中会更多地出现以上案例中的“意料之外”，同时这种“意料之外”也更有利于学生创新能力的培养和今后在数学上的发展.

（作者单位：浙江省上虞市丰惠镇中学）

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