层次分析方法应用研究

【摘要】 本文对不同系统中的层次分析方法的使用，提出和选择了不同的方法，克服了权重确定不足的弱点及专家评价意见中不确定性问题。适应了实践中对系统客观、科学及准确评价的需要。

【关键词】 层次分析主法（AHP，GAHP） 模糊综合评判 非线理模糊规划

1.引言

层次分析方法（AHP）是一种把定量和定性相结合的系统化为层次化的方法，具体步骤如下：

（1）建立递阶层次结构。（2）利用 1―9 标尺构造成对比较判断矩阵A=（aij）n×n， aij>0，aij=1aij。（3）由判断矩阵计算被比较元素的相对权重。（4）计算各层元素的组合权重，这样得到的权重向量wk中的元素就是对应评估目标的量化值，如果是正值表示，就越大越好，如果是负值表示，就越小越好。这种方法从 1980 中传入我国后已得到广泛应用。下面我们来看方法本身的问题及解决方法。

2.AHP方法存在的问题及相应解决办法

2.1 问题：由于特征根λ 连续地依赖aij。因而入比n大得越多时，A的不一致性程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。

解决办法 ：Saaty 提示了一致性指标。CI =λ―nn―1和随机一致性指标 RI 及一致性比率CR=CIRI。如果 CR

2.2 问题：由于给出成对比较矩阵的个人的主观因素作用大，在实践中不适用于精度高的要求。

解决方法：采用专家群体判断的方法：（1）没有M 个专家按相邻上层某个准则对n 个元素，分别给出 Q1，Q2，…Qm的比较阵。EC为n 阶一致性矩阵集 EC=An×n|A∈Em，aij・ajk・aik∈A恒有aik=aij・ ajk， i.j.k∈N。若A=（aij）p×q，B=（bij）p×q，C=（cij）p×q其中cij=aij×bij（i=1，2，…，p； j=1，2，…，q）C=A・B为Hadamard 乘积。（2）算法及迭代过程：令V0为元素全为1的n 阶阵，置q=1，令Aq=D10Vq―1其中Dq为第Q位决策者给出的判断矩阵，“。 ”为Hadamard 算子；用特征根法通过AqWq=λmaxWq求出Wq，其中Wq是对应λmax的特征向量；用Wq构造Vq=（Vqij）（n×n）矩阵，其中Vqij= WqijWqj（i， j ∈ N），显然Dq，Aq∈Em， Vq ∈Rc；当q

2.3 问题： 层次分析方法的第一步和最后一步都相对简单和直接，当决策者对不确定性问题，无法用确定性比值来表达其判断时，AHP的特征值优化就难以凑效。

解决方法：（1）我们运用具有线性的连续分段隶属函数的三角模糊数N

U（x）=x―a/b―a a≤x≤b 通常表示为（a、b、c）

c―x/c―b b≤x≤c 分别为均值，下界与上界

0 其它

考虑在同一层次上用三角模糊数aij=（lij，mij，uij）表示，构造模糊评价矩阵：

A=1a21a121…a1na2n

…………

an1an2…1=其中aij=1aji1

假设决策者可提供一个模糊判断集{aij}i=1，2，…n―1j=2，3，…，n j>i

aij=（lij，mij，uij）。列入隶属函数来表达决策者对不同精确比值Wi/Wj的满意度，其中lijWi/Wjlij。 “”表示“模糊小于等于”。设

Uijwiwj=wi/wj―lijmij―lij wi/wj≤mij

uij―wi/wjuij―mij wi/wj≥mij

（1）

为避免分母为零，我们设lij

隶属函数（1）与模糊三角判断aij=（lij，mij，uij）一致。

我们用模糊优先规划方法求解优先权重

λ*=Up（W*）=maxW∈Qu―1min{uij（w）}

（2）

p为 N―1 维单纯形Qn―1上的一个模糊可行域D.Up（w）=mini，j{uij（w）i=1，2，…， n―1

j=2，3，…， n ， j>i为一凸集。 W*∈Qn―1为最大隶属度的优先向量。基于最大最小决策规划求解，把（2）转化为 maximizeλ s，t λ ≤Uij（W），i=1，2，…， n―1

j=2，3，…， n ， j>i. ∑ Wi=1，W1>0， l=1，2，…，n （3） 把（1）和（2）改号为maximizeλ

（mij―lij）λWj―wi+lijwj≤0 i=1，2…，n―1

（Uij―mij）λWj+wi―uijwj≤0 j=2，3，…，n j>i

∑nl=1 W1=1，W1>0， l=2，3，…， n

（4）

可采用非线性规划方法求解（4）的最优解（λ*，W*），最优值λ*为正表明所有比值完全满足模糊判断； 负值表明模糊判断存在着不一致性。这样， 最优先可用来衡量初始模糊判断矩阵的一致性问题[3]。

也可采用多层次综合评价模型，方法如下：

a. 确定评价集Y

b. 建立因素集。对每一个子因素集ai（i=1，2…n） ，分别由指标层B 中各指标 bj（j=1，2，…，m）构成，而bj分别由三级指标层 B中各指标 Ck（k=1，2…l）构成。

c. 建立各因素集的权重集W。

d. 确定评判矩阵R={rij}・rij表示每一个末级指标值对评价集各个等级的隶属度。分别选择升半梯形分布，梯形分布，降半梯形分布来构造隶属函数。

e.进行一级模糊综合评判，按照模糊合成运算，得到一级评判集bK=Wki。RK；进行二级综合评判： AK=Wkn。Rm；三级综合评判，最终有评价集A=WK。R

2.4 问题：目前模糊综合评价的研究难度之一是如何科学客观地将一个多指标问题综合成一个单指标的形式，以便在一维空间中实现综合评价。

解决方法：构造模糊评价矩阵用于确定指标权重，并且用最优传递矩阵来检验，修正判断矩阵的一致性，进而计算出各评价指标的权重，方法如下：

（1） 设有n 个评价指标组成对全体m 个方案的评价指标样本集数据{x（i，j）}i=1，2…，

rij=x（ij）/[xa（i）+xmin（i）]，

xmin （i） ≤ x（i， j） < xn （i）

xmax（i）+xa（i）―x（i， j）]/[xmax（i）+xa（i）]

xa（i） ≤x（i， j）

xmin（i），xmax（i），xa（i）分别为方案集中第i 个指标的最小值，最大值和适当值；r（i，j）为标准化后的评价指标值，也就是第j 个方案第i 个指标从属于优的相对隶属值。i=1，2…n。j=1，2…m。模糊评价矩阵R=（r（i，j））n×m。

（2） 设样本标准差S（i）=∑mi=1[ri，j―ri）2]12，ri为样本均值，i=1，2…n。

建立1―9判断尺度下的判断矩阵

Bij=s（i）―s（j）smax―smin（bm―1）+1 s（i）≥s（j）

1/[s（j）―s（i）smax―smin（bm―1）+1] s（i）

smin，smax为si的最大值与最小值。

bm=min{9，int[smax/smin+0.5]，min，int 分别为取小函数和取整函数。

（3）判断矩阵B=（bij）n×n bij=WiWj（i，j=1，2…n）是一致的。（bii=1，bij=1/bji。Bij=bikbkj） 则必有∑ni=1∑nj=1bijwij―wi=0。如果不一致，采用最佳传递矩阵法来修正判断矩阵，方法及步骤归纳如下图：

（4）把各评价指标的权重值 wi与各方案相应评价指标的相对隶属度r（i，，j）相乘并累加，可得模糊评价的综合指标值 H（j）。

H（j）=∑niwir（i， j）， （j=1，2，…， n）

综合指标值H（j）越大说明j 方案越优，实证如[4]。

3.结束语

作为定性与定量结合的层次分析方法，已经在工程技术，经济管理，社会生活各方面得到广泛应用，但因为生活中的问题相当复杂，层次分析方法也在不同系统中逐步得到修正和改进，但仍不完善，需要进一步深入研究。

参考文献

[1] 姜启源.1996《数子模型》.311―316

[2] 陆浪如等.一种基于SPK 的 IBE 加密体制综合性能的评估研究，中国管理科学2005.V013 专辑，41―42.

[3] L.Mikhailov，P.Tsvetinov.Evaluation of Services using a fuzzy analytic hierarchy process[J]. Applied soft computing 2004.5.23―33.

[4] 王维等. 全国地经济发展水平动态比较研究[J].中国管理科学， 2004（10）566―570.