二重积分转化为二次积分的“三定法”

摘 要 计算二重积分最关键的是在定积分计算的基础上，掌握好将二重积分转化为二次积分的方法步骤。笔者结合自身的教学经验，将二重积分转化为二次积分的方法总结为“三定法”，即“定系、定序和定限”。

关键词 二重积分 二次积分 三定法

中图分类号：O172.2 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2016.06.012

Abstract The most critical calculation of double integral is based on the calculation of the definite integral， and master the method of converting the double integral into the two integral. The author's own teaching experience， the double integral transformation of quadratic integral method is summarized as "sanding" namely fixed line， sequencing and restriction".

Key words double integrals； two integrals； three methods

二重积分的计算是积分学中的一个重要问题，其基本方法是将二重积分转化为二次积分来计算。所以学重积分计算的关键是在定积分计算的基础上，掌握好将二重积分转化为二次积分的方法步骤。具体来讲，首先是确定坐标系；其次确定二次积分的顺序；最后是确定积分上下限，即“定系、定序、定限”。完整经历这三步之后，就可将二重积分转化为了二次积分。

1 定系

“定系”是计算二重积分的第一步。坐标系选择的合适与否，决定了二重积分计算的复杂程度。选择坐标系的一般方法是：主要依据积分区域的形状，有时也参照被积函数 （）的形式，具体见表1。

从表1中知：若积分区域为圆域、环域、扇域或环扇域，并且被积函数 （）的形式为 （）、 （） 或 （），这两个条件同时满足，这时，应选择极坐标系，如例1。

例1：计算二重积分，

其中 = {（）O1≤≤4}。

解： = =

但如果积分区域为圆域、环域、扇域或环扇域和被积函数 （）的形式为 （）、 （） 或 （）这两个条件不同时满足的情况下，又该如何选择坐标系呢？如例2。

例2：计算二重积分（），其中是由直线 = ， = + ， = ， = 3（>0）所围成的闭区域（见图1）。

分析：本题从被积函数 （） = 看用极坐标系做要简单些，但从积分区域的形状看却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的情况下，应以积分区域的形状来决定选用什么坐标系，本题选用直角坐标系来做。

解：（） = （）

= （ + ） = 14

2 定序

在确定二次积分的顺序之前，要根据积分区域的特点来确定积分区域的类型。以直角坐标系为例，可将积分区域分为型区域和型区域。型区域所代表的二次积分的积分顺序为先对积分后对积分，型区域所代表的二次积分的积分顺序为先对积分后对积分。在具体运算中，针对型区域或型区域，是否一定按照其对应的积分顺序进行呢？这里分以下三种情况加以说明。

第一，当积分区域既是型区域又是型区域时，可以先对积分后对积分，也可以先对积分后对积分。如例3。

例3：计算二重积分，其中是由直线 = 1， = 和 = 2所围成的闭区域（见图2）。

第二，当积分区域既是型区域又是型区域时，有时需要考虑计算的复杂程度，以此来选择积分区域的类型，从而确定二次积分的积分顺序。如第一部分中的例2。

例2：计算二重积分（），其中是由直线 = ， = + ， = ， = 3（>0）所围成的闭区域 （见图1）。

解法一：将看作型区域：

第三，当积分区域既是型区域又是型区域时，有时需要根据被积函数的特点来选择积分区域的类型，从而确定二次积分的积分顺序。如例4。

例4：计算二重积分，其中是由直线 = ， = 1和 = 0所围成的闭区域 （见图3）。

分析：因为无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，将当作型区域处理，即按照先对积分后对积分的顺序。

解： =

= ・ = ・ = （）

凡遇如下形式的积分：，，，，，，等等，因其结果不能用初等函数表示，因此要将其放在后面积分。

3 定限

确定二次积分的上下限是将二重积分转化为二次积分的最后一步，同时也是一个难点。但如果掌握好了定限的四步曲（定限口诀），这个问题也就迎刃而解了。

定限口诀：“后积先定限（后积分变量的上下限均为常数），限内画条线，先交下限写，后交上限见。”

对直角坐标系而言，针对型区域，画一条平行于轴且与轴正向同向的直线；针对型区域，画一条平行于轴且与轴正向同向的直线。

对极坐标系而言（积分顺序一般是“先后”），画一条以极点为起点的射线。

下面通过两个例子具体来说明如何运用定限口诀进行定限。

例4：计算二重积分，其中是由直线 = ， = 1和 = 0所围成的闭区域。

通过上面的分析知：将当作型区域处理，即先对积分后对积分。第一步，后积先定限：

先定的上下限。

第二步，限内画条线：在 = 0和 = 1之间画一条平行于轴且与轴正向同向的直线（见图4）。

第三步，先交下限写：直线先与的边界曲线 = 0相交，所以0取作x的积分下限。

第四步，后交上限见：直线后与的边界曲线 = 相交，所以取作的积分上限。

至此，二次积分中积分变量和的上下限都已确定出来了，二重积分也就化为了直角坐标系下的二次积分。

例5：计算二重积分（），其中是由圆 = ， = 及直线 = 0， = 0所围成的闭区域（见图5）。

根据第一部分定系的一般方法，本题选用极坐标系，先对积分后对积分。

将四条边界曲线的方程化为极坐标方程：

第一步，后积先定限：先定的上下限・。第二步，限内画条线：在 = 和 = 之间画一条以极点为起点的射线（见图5）。第三步，先交下限写：射线先与的边界曲线 = 相交，所以取作的积分下限。第四步，后交上限见：射线后与的边界曲线 = 相交，所以取作的积分上限。

至此，二次积分中积分变量和的上下限都已确定出来了，二重积分（）也就化为了极坐标系下的二次积分・。