化归思想在立几中的探究

我们在解决代数问题时经常使用化归思想方法。数学解题过程实际上就是不断的进行化归的过程，化归是数学研究中普遍采用的一种思想，也是解决实际问题的关键，而这一思想的应用在立体几何的学习中尤为突出，不论是线线、线面、面面之间平行、垂直关系的转化，空间图形的证明与计算转化为平面图形的证明与计算，还是空间几何关系转化为向量的运算关系，几乎贯穿于立体几何的全部领域，而数学课堂上学生往往只注意了这些知识的学习，注意了新知识的增长，并未曾注意联想到这些知识的观点以及由此出发产生的解决问题的方法和策略，所以要增强学生对各种关系转化的意识是关键，而这一意识的培养、增强全靠教师在教学中帮助学生有效地、有目的地进行化归，从而提高解题能力。不妨先从实例来作研究。

一、题型的化归：

1、化归为基本题型：

立体几何中我们知道有一些基本题形是我们平时经常研究的，如：正方体、四个面全为直角的三棱锥中的问题等。

棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积与体积．

解：以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球．

分析：联系正四面体，如图3，pa、pb、pc两两成600，高po与棱pa所成的角即为图8中po与pa所成的角，而在正四面体中，po与pa所成角的正弦值为 ，故pe= cm。

3、几何问题代数化

如图4，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ．

本题在解的过程中引进了变量 ，从而将求 的范围问题转化为求关于函数值域问题。

二、图形的化归

1、化归为平面几何问题

在立体几何中，一般求表面距离最短问题通常都转化为将此几何体按一定要求侧展，变空间问题为平面几何问题。

如图6，在四面体p—abc中，pa＝pb＝pc＝2，∠apb＝∠bpc＝∠apc＝30°，一只蚂蚁从a点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到a点。

问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路程是多少？

解：如右图，将四面体沿pa剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接aa′分别交pb，pc于e，f两点，则当蚂蚁沿着aefa′路径爬行时，路程最短．在apa′中，∠apa′＝90°，pa＝pa′＝2，aa′＝22，即最短路程aa′的长为22.

2、化归为平面图形

在立体几何中常将空间图形中的条件有目的地化归到几何体内的一个平面图形中去，再结合平面几何知识来解决这个问题。

如图7，在正方体abcd－a1b1c1d1中，棱长为a,e为棱cc1上的的动点．

（1）求证：a1ebd；

（2）当e恰为棱cc1的中点时，求证：平面a1bd平面ebd.

证明：（1）略，

3、整体与局部的化归

（1）补成整体：

设p，a，b，c是球o表面上的四个点，pa、pb、pc两两垂直，且 m，求球的体积与表面积。

解：在球o中构造一个正方体，使该正方体的棱长为1，则此正方体中的某四个点必满足条件，故正方体的对角线长即为该球直径，所以有 体积为 ，表面积为 。

将三棱锥补成正方体，是解决该题的关键。

（2）割成局部：

如图8，已知平行六面体abcd—a1b1c1d1的底面abcd是菱形，且∠c1cb=∠c1cd=∠bcd，

（ⅰ）证明：c1cbd；

分析：如果我们从该图中仅观察三棱锥c—bc1d，就可以研究上面问题。

综上可见，运用化归法解立体几何题是一种很有力的工具，我们在解题当中，应当熟悉和掌握这一工具，并能自觉地运用这一工具。化归是一种重要的数学思想。实际上，中学数学中，化归方法的应用不仅体现在立体几何中，它无处不在。所以数学中注意化归思想的培养对学生学习数学，发展解题能力都无疑是至关重要的。

化归方法之间彼此密切联系，只是表现形式有所侧重，总的来说，化归方法就是把未知问题转化为已知问题，把陌生问题转化为熟悉问题，把繁杂问题转化为简单问题。而这里所说的转化，不是无目的活动，问题的内部结构和相互之间的联系，决定了处理这一问题的方式、方法。因此教师要充分揭示问题间的内部联系，帮助学生学会分析问题，创造条件，实现转化，是掌握化归方法的关键。