等势面的综合应用

一、由等势面确定物体的运动

例1 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置. 其中某部分静电场的分布如图1所示. 虚线表示这个静电场在[xOy]平面内的一簇等势线，等势线的形状相对于[Ox]、[Oy]轴对称.等势线的电势沿[x]轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等，一个电子经过[P]点（其横坐标为[x0]）时，速度与[Ox]轴平行.适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在[Ox]轴上方运动.在通过电场区域的过程中，该电子沿[y]方向的分速度[vy]随位置坐标[x]变化的示意图是（ ）

图1

[A B C D]

解析 因电场线总是与等势线垂直，可画出该电场中电场线的分布情况.电子在电场中受到的电场力方向应与电场线的切线方向相反，所以电子在[y]轴左侧受到的电场力的竖直分量总是沿[y]轴负方向且逐渐减小，电子沿[y]方向的分速度[vy]逐渐增大，到达[y]轴时，电场力的竖直分量为零，电子沿[y]方向分速度[vy]达到最大值.当电子运动到[y]轴右侧后，[vy]逐渐减小，但整个过程中电子沿[x]轴方向分速度[vx]一直在增大，电子从[x=0]到[x=x0]所用的时间比从[x=-x0]到[x=0]所用的时间短，所以电子运动到[x=x0]时沿[y]方向的分速度[vy]不会减小为零.D项正确.

点评 本题涉及非匀强电场中等势线与电场线的关系、带电粒子在非匀强电场中的运动和运动的合成与分解等知识.解答的关键是判断电子受到的电场力方向与电子运动方向的关系.

二、与运动综合的问题

例2 如图2所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为V.

图2

（1）在质点的运动中不发生变化的是（ ）

A.动能

B.电势能与重力势能之和

C.动能与重力势能之和

D.动能、电势能、重力势能三者之和

（2）质点的运动是（ ）

A.匀加速运动

B.匀减速运动

C.先匀加速后匀减速运动

D.加速度随时间变化的运动

（3）该质点滑到非常接近斜边底端C点时速率Vc为多少？沿斜面下滑到C点的加速度ac为多少？

解析 （1）由于只有重力和电场力做功，所以重力势能、电势能与动能的总和保持不变.D项正确.

（2）质点受重力[mg]、库仑力[F]、支持力[N]作用，因为重力沿斜面向下的分力[mgsinθ]是恒定不变的，而库仑力[F]在不断变化，且[F]沿斜面方向的分力也在不断变化，故质点所受合力在不断变化，所以加速度也在不断变化. D项正确.

（3）由几何知识，知B、C、D三点在以O为圆心的同一圆周上，是O点处点电荷Q产生的电场中的等势点，所以q由D到C的过程中电场力做功为零，由能量守恒，有

[mgh=12mV2c-12mV2]

其中[h=BDsin600=BCsin300sin600]

[=2L×12×32=3L2]

解得[Vc=V2+3gL]

质点在C点受三个力的作用：电场力F，方向由C指向O点；重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于斜面向上.根据牛顿第二定律，有

[mgsinθ-Fcosθ=mac]

即[mgsin300-kQqL2cos300=mac]

解得[ac=12g-32kQqmL2]

点评 质点在电场和重力场的叠加场中运动，物理过程较为复杂，要紧紧抓住质点的受力图景、运动图景和能量图景来分析.

三、与能量综合的问题

例3 如图3所示，a、b和c是静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb、φc，且φa>φb>φc.一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线[KLMN]所示，由图可知（ ）

图3

A.粒子从K到L的过程中，电场力做负功

B.粒子从L到M的过程中，电场力做负功

C.粒子从K到L的过程中，电势能增加

D.粒子从L到M的过程中，动能减少

解析 由题意φa>φb>φc，可确定场源电荷带正电，a、b、c分别为等势面.从带正电的粒子的运动轨迹（KLMN）发生靠近又远离中心电场的偏转现象看，中心电场处也应为一带正电的点电荷，故粒子从K到L受到的电场力为斥力，电场力做负功，由能量守恒定律可知，动能减少，电势能增加；粒子从L到M，即正电荷从高电势到低电势，电场力做正功，电势能减少，动能增加.AC项正确.

点评 由题目中的条件可知，a、b、c是孤立点电荷激发的电场中的三个等势面，因为运动粒子带正电，且沿K到L到M到N运动，所以受到的是静电斥力，可以判断场源电荷必定为正电荷，电场力做功情况便能确定下来.