电阻、电感、电容组合电路的矢量分析

【摘要】对于包含电阻、电感和电容三种基本电路元件的交流电路，由于其受交流电源的调控使得其电路分析变得比较复杂，本文运用电路矢量分析法对三种基本元器件组成的交流电路的所有组合进行全面分析解剖，让学生能够更好地理解电路的矢量图解法在电路分析中的便捷应用。

【关键词】电阻;电感;电容;交流电路;矢量分析

1.引言

基本电路及其应用是一门比较抽象的工程学科，其概念和计算的掌握具有相当的难度。课程习题虽然千变万化，但是对于实际电路的应用缺乏系统的归纳和总结。因此，在学生的学习中往往出现概念与实际相互脱离的现象，造成解题的困难。针对这个问题，教师不仅要引导学生多做、多练，同时还必须授之以解题技巧，教会学生一系列分析问题、解决问题的方法，总结各种交流复杂电路的基本特点和解题方法。

2.交流电路

和直流电路不同，在交流电路中，电源电动势、电流和电压的大小和方向都是周期性变化的。其中最常见的，也是应用最为广泛的是正弦交流电。以电流为例，电流强度随时间变化的关系可用正弦函数（或余弦函数）来表示，通常表示为，其中是电流的幅度值，是交流电的角频率，是初始接入相位。

电阻R、电感L和电容C是交流电路的三个基本元件，当它们接到交流角频率为的交流电路时，纯电阻、纯电感、纯电容元件对交流电的阻抗分别为R、L和1/C。事实上，交流电路大多是电阻、电感和电容按一定方式组成的复杂电路。由于交流电压、电流之间存在一定的相位差，这使得整个电路的阻抗、电压、电流的计算就比较复杂。然而，借助于复数运算或矢量图法可以简化这种计算，特别是矢量图解法更具有简明、直观的特点。

3.矢量分析法的原则

在交流电路中，纯电阻电路电压与电流是同相位的;而纯电感电路电流滞后电压90度;纯电容电路电流则超前电压90度;电感性电路电压超前电流（0～90）度;电容性电路电压滞后电流（0～90）度，具体表示如图1所示。矢量分析法就是用线段的长度表示交流量的有效值，用线段的方向表示交流量的初相位。如果交流电量是给定的三角函数，则转换成矢量分析法的具体步骤是这样的：第一步，选择一个水平参考正方向;第二步，判断正弦量的初相位，如果初相位是正（大于零）的角度，那么在水平参考正方向的起始端逆时针旋转初相位那么大的一个角度;反之，如果初相位是负（小于零）的角度，那么在水平参考正方向的起始端顺时针旋转初相位那么大的一个角度。第三步，在画好的矢量上标出正弦量的有效值。如果是频率相同的正弦交流量，那么所有的量就可以画在同一个矢量图中。

图1 基本电路矢量图

4.电阻、电感和电容组合电路分析

电阻、电感和电容串联后接在交流电路上，如图2（a）所示，电路总电压为U，总电流为I。矢量图的画法：以电路总电流为参考矢量（串联电路中的电流相等且同向，故以此为参考比较方便易懂）画出参考矢量I，电阻两端电压与参考矢量同向，电感两端电压比电流相位超前90度，则在参考矢量的基础上逆时针旋转90度作出电感电压矢量;同理，电容两端电压比电流相位滞后90度，则沿参考矢量方向顺时针旋转90度，作出电容电压矢量，如图2（b）所示。

图2 纯串联电路

其中，矢量，那么合成总电压U幅值为：

相位为：。当，矢量落在区域①;当，矢量落在区域②;当，矢量落在区域③，分别表示在图2（b）中。

电阻、电感和电容并联后接在交流电路上，如图3（a）所示，电路总电压为U，总电流为I。矢量图的画法：以电路总电压为参考矢量（并联电路中的电压相等且同向，故以此为参考比较方便易懂）作出参考矢量U，经过电阻的电流与参考矢量同向，经过电感的电流比电压相位滞后90度，则在参考矢量的基础上顺时针旋转90度作出电感电流矢量，同理，经过电容的电流比电压相位超前90度，则沿参考矢量方向逆时针旋转90度，作出电容电流矢量，如图3（b）所示。

图3 纯并联电路

图4 混联电路1

其中，矢量，那么合成总电流I幅值为：，相位为：。当，矢量落在区域①;当，矢量落在区域②;当，矢量落在区域③，分别表示在图3（b）中。

当电阻与电感串联再与电容并联时，如图4（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I。矢量图画法为：选择总电压为参考矢量，电容电压与其同向，电流超前90度;由于电阻和电感串联，流经二者的电流整体表现为滞后电压矢量（0～90）度的一个角度，如图4（b）所示。

此时假设的垂直分量为，水平分量为，，合成总电流为：，合成电流相位为：。当，矢量落在区域①;当，矢量落在区域②;当，矢量落在区域③，分别表示在图4（b）中。

当电容与电感串联再与电阻并联时，如图5（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I。矢量图画法为：选择总电压为参考矢量，电阻电压与其同向，电流也与其同向;由于电容和电感串联，流经二者的电流整体表现为与电压方向（-90～90）度的一个角度，如图5（b）所示。

图5 混联电路2

此时，假设流经电感和电容支路的电流为，合成总电流满足平行四边形法则，如图5（b）所示。如果的相位属于（0～90）度则合成电流矢量落在区域①;当的相位为0度时，矢量落在区域②;当的相位属于（-90～0）度，矢量落在区域③，分别表示在图5（b）中。

当电容与电阻串联再与电感并联时，如图6（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I。矢量图画法为：选择总电压为参考矢量，电感电压与其同向，电流滞后90度;由于电阻和电容串联，流经二者的电流整体表现为超前电压方向（0～90）度的一个角度，如图6（b）所示。

图6 混联电路3

此时假设矢量的垂直分量为，水平分量为，，合成总电流为：，合成电流相位为：。当，矢量落在区域③;当，矢量落在区域②;当，矢量落在区域①，分别表示在图6（b）中。

当电容与电感并联再与电阻串联时，如图7（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I，此时电感电压和电容电压相等。矢量图画法为：选择电感电压为参考矢量，电容电压与其同向，电流各自滞后和超前90度，如图7（b）所示。同理根据平行四边形法则可以得到总电压U和总电流I=IR的矢量，如图7（b）所示。当IC=IL时，I=IR=0，总电压矢量U=UL=UC。

图7 混联电路4

当电容与电阻并联再与电感串联时，如图8（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I，此时电阻电压和电容电压相等。矢量图画法为：选择电阻电压为参考矢量，电阻电流与其同向，电容电压与其同向、电流超前90度，电感电压超前电流IL（即总电流I）90度，如图8（b）所示。根据平行四边形法则，合成的总电压为矢量U。

图8 混联电路5

当电感与电阻并联再与电容串联时，如图9（a）所示，设电路总电压为U，总电流为I，此时电阻电压和电感电压相等。矢量图画法为：选择电阻电压为参考矢量，电感电压与其同向、电流滞后90度，从而求得电容电流（即总电流I），电容电压滞后电流90度，如图9（b）所示。根据平行四边形法则，总电压为矢量U。

图9 混联电路6

上述各个电路的矢量图中，如总电压和总电流同相位，则电路是阻性的;如总电压超前总电流，则电路是感性的;如总电压滞后总电流，则电路是容性的。

5.总结

交流电路与生产实践和日常生活密切相关。在交流电路中，如何让学生尽快掌握交流电路的概念和计算，从理论教学到实践教学都十分重要。在交流电路的教学中，体会到一些可以提高学生学习交流电路的方法和技巧。对初涉交流电路的学生来说，与直流电路相比，交流电路更为复杂。直流电路中的欧姆定律、基尔霍夫定律，电功率等概念都可以用到交流电路中，不同的是直流电路中的物理量电流、电压都是直流的量，计算较为简单，然而交流电路的电流、电压随时间作周期性变化，计算较复杂。解决交流电路问题，要以数学、物理为基础，如何使学生尽快从已掌握的直流电路的分析法，过渡到交流电路，在教学中我采取这样的做法：用矢量图分析交流电路，这比用复数运算更为有效。而本文利用交流电路矢量分析方法对所有的电阻、电感、电容三种基本元器件的组合电路进行全面矢量图分析，对于学生更全面地掌握复杂交流电路的学习具有很好的帮助。

参考文献

[1]周元兴.电工与电子技术基础（第三版）[M].北京：机械工业出版社，2010.

[2]何军.电工与电子技术基础[M].北京：电子工业出版社，2008.

作者简介：丁莉敏（1963―），女，上海人，大学本科，上海工业技术学校讲师，研究方向：电气自动化。