利用课本习题 加强素质教育

时间:2022-10-01 02:06:00

利用课本习题 加强素质教育

摘 要:基础教育是提高民族素质的教育,数学学科的素质教育的主要内容应该是提高学生智能以,让学生发展式地学习.本文通过一道课本习题的证明、应用和推广,对这一问题作初步探讨.

关键词:基础教育;素质教育;课本习题

Abstract: basic education is to improve the quality of the education, the main content of the quality education of mathematics should be improved to allow students to develop students' intelligence, to learn a proof. In this paper, the application and popularization of the textbook exercises, make a preliminary discussion about this problem.

Keywords: basic education; quality education; textbook exercise

中图分类号:G421文献标识码:A 文章编号:2095-2104(2013)

随着改革开放的不断深入,“国之兴衰,系于教育”的呼声已响遍神州大地.基础教育是提高民族素质的教育,是教育的基础.如何进一步深化教育改革,使学生在德、智、体等方面得到全面发展,成为具有适应21世纪基本五体投地要求的“四有”人才,这是我们教育工作者面临的十分艰巨而光荣的任务.

素质教育所包含的内容是很广泛的,但就数学学科的特点而言,发展学生智能,让学生发展式地学习知识就是其主要内容.这里所指的“智能”是知识、思维、能力的统一体.日常教学应围绕积累科知识、发展思维、培养能力三方面进行,其中思维、能力的培养应该是素质教育的落脚点.

我们使用的教材是国家组织有关专家编写的,数学这一学科的特点是“讲”、“练”相结合,而“练”是学生掌握知识、发展思维、提高能力的体现.因此,如何运用课本习题,使学生在掌握知识的同时使思维得到发展,能力得到提高,这应该是教学中的重要环节之一.

对于一道习题,从题目的已知条件出发,探索其不同的解题方法,这是人们普遍关注的,但做完一道习题后,对其进行反思,找出它的普遍规律,用它去解决其它问题;或将它进行推广,让其发挥更大作用,这往往未引起人们的足够重视,而这又恰好是利用习题对学生进行素质教育的关键所在.本文借一极普通的课本习题对这一问题作初步探求,目的是抛砖引玉.

1. 问题及证明

问题:过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两个交点的纵坐标为、,则.[见《平面解析几何》(必修本)]

证:当直线不垂直于x轴时,设过抛物线焦点的直线方程为,.

将上式带入,整理得.

此方程的两根、即为直线与抛物线交点的纵坐标,由韦达定理得.

当直线垂直于x轴时,直线的方程为代入,得,故.

综上可知,.

优化证明方法

上述证法是解决这类问题的一般方法,它将“问题”作一简单分类,即直线有斜率和没有斜率两种情况.但通常会把直线没有斜率这一情形遗漏掉,造成证明的不完整,我们使用的人民教育出版社出版的教学参加书上就是如此.本“问题”可用下面的方法来证明:

没过焦点的直线议程为,由于直线与抛物线交于两点,k始终存在(若k不存在,则直线与x轴重合,不合题意.)

将代入,整理后得.

设此方程的两根为、,则由韦达定理可得.

这种证法不但一步到位,而且又可以防止错误的产生,显然优于第一种证法.

3.应用

前面,我们已经证明了“问题”,就题目本身的要求而言可以认为是结束了。但仔细观察“问题”的条件和结论,我们不难发现,它的条件和结论带有一般性,即过抛物线的焦点的直线与相交于两点,这两点的纵坐标之积仅与参数p有关.下面举例说明其应用.

例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平等于抛物线的对称轴.

证:如图1,设抛物线的方程为,点

P、Q、M的坐标分别为、、,

则,

即 ①

直线PM的方程为,准线l的方程为,

点M的纵坐标,而,

故 ②

由①、②得MQ平等于x轴.

例 2过抛物线的焦点弦(过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点,这两点间的线段称为抛物线的焦点弦。)两端向准线作垂线。求证:⑴两垂足与焦点的连线互相垂直;⑵以焦点的弦两端与两垂足为顶点的四边形的两对角线过抛物线顶点.

证:如图2.

(1)设抛物线的弦PQ过焦点,点P、Q的坐标分别为、,则.又设过点P、Q与准线l交于点M、N,则M、N的坐标

分别为,.

(2)

从而点M、O、Q共线.

同理可证P、O、N三点共线.

4.推广

以上,我们不但证明了“问题”,而且用“问题”的结论去解决了一些问题,应该说“问题”已经得到了圆满的解决,但若到此止步,我们所得的仍然甚少. 如果把“问题”中的“直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点”这一条件变换为“直线过抛物线的对称轴上任意一点与抛物线相交于两点”则所得的结论又是怎样的呢?这正是进一步所要研究的问题.

如果直线l过抛物线的对称轴上的任意一点(m,0)与抛物线相交于两点,这两点的纵坐标为、,设l的方程为,即,代入,整理得此方程的二根为、即为两交点的纵坐标,依韦达定理得.从而我们有下面的结论:

过抛物线(p>0)的轴上任意一点(m,0)的直线与抛物线相交于两点,这两点的纵坐标为、,则

这样,我们把“问题”作了推广。下面再举例说明推广之后的命题的应用.

例3:抛物线内有一点P(4,1),抛物线的弦AB过点P且被点P平分,求AB所在直线的方程.

解:如图3,设弦AB与x轴相交于点C,点A、B、C的坐标分别为

由已知得

又由,得

故点C的坐标为

综上所述,一道题目解完后,我们不能因为得到结果而满足,还需作进一步的探索,深入地钻研进去,这样才能获得举一反三的效果.退一步而言,即便是探索失败,也会在探索过程中得到一些有益的东西.

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