“信号与系统”周期信号频谱的教学分析

摘要：周期信号的频谱是信号与系统频域分析中的重点和难点。以周期信号的频谱教学为例，通过启发式和案例式教学方法对其进行讲授，以调动学生能动性，加深概念理解，取得了良好的教学效果。

关键词：信号与系统；周期信号的频谱；教学方法

作者简介：杨宇（1984-），男，河北保定人，理工大学通信工程学院，助教；贾永兴（1974-），男，甘肃秦安人，理工大学通信工程学院，副教授。（江苏 南京 210007）

中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0146-02

频域分析法是信号与系统分析的经典方法，也是学习后续专业课程的重要理论基础。其原理主要包括：频谱的概念、常用信号的频谱及其性质等。由于用积分定义的频谱不易被理解，通常教材多从周期信号的傅里叶级数展开开始，[1-4]逐步推广到一般信号的积分变换，最终确立信号的频域表达，所以，周期信号的频谱就成为学生理解频谱概念及其物理意义十分关键的一堂课。本文以周期信号的频谱为例，来讨论教学过程的设计。

一、傅里叶级数与周期信号的频谱

1.周期信号的傅里叶级数表示

若周期信号的周期为T1，角频率，根据傅里叶级数的定义，可由三角函数的线性组合表示为：

（1）

式（1）中n为正整数，，，各次谐波成分的幅度值按以下各式计算：

直流分量：

（2）

余弦分量的幅度：

（3）

正弦分量的幅度：

（4）

其中n=1，2，…。

显然直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号。

2.周期信号的频谱

由式（3）（4）可以看出，各分量的幅度an、bn、An及相位φn都是nω1的函数。为了直观地显示各频率分量的相对大小，把An与nω的关系、φn与nω1的关系分别绘制成线图，这种图分别称为幅度谱和相位谱，如图1所示。

二、课堂教学方法

本次课是“信号与系统”由时域分析到频域分析的第一次课，是在傅里叶级数的基础上建立频谱的概念。教学重点和难点在于时域到频域的转换以及对频谱的理解。如何帮助学生从客观世界进入到科学境界、从感性思维上升到理性思维，是进行教学内容设计的出发点。按照突出能力培养的指导思想，以深刻理解频谱的基本概念和物理意义为重点，按照“启发式”教学方法的基本要求，结合案例法，从学生已有的知识出发，组织教学内容，使课堂教学由“单向传授”变为“引导发现”，使教学内容由抽象变形象。

1.启发式教学

启发式教学，[4]是教师根据教学的目的和内容以及学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导的方法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展。其中，“启”是指教师的主导作用；“发”是指学生的学习自觉性和主动性。在教与学的过程中，学生的学习自觉性和主动性是起决定作用的，所以，启发式教学的关键在于如何更好地调动学生的学习积极性。

本文运用“启发式”教学法，以学生为主体，启发引导学生，激发其求知欲，充分调动学生的能动作用，循序渐进地获取并理解新知识。教学过程大致分为四步：

第一，激发兴趣，导入新知。从学生熟悉的现象出发，引起对频谱概念的求知欲望，建立频谱的初步印象。

频率是自然界事物的属性。通过描述男声、女声、海豚音等频率特点，建立从频率认识事物的思想。通过播放音乐，显示其时域波形和频域柱状图，让学生对频谱图的产生直观印象，引出本次课的教学内容——周期信号的频谱。

第二，精讲启发，探索新知。以“设问-分析-解答”为模式，一步步引导学生提升思维层次，逐步得到周期信号的频谱。

首先，从典型的周期信号——正余弦信号出发，通过不同的正余弦信号的时域波形图，引导学生总结出此类周期信号的三要素表示法，即由振幅、相角和频率三个变量来确定一个正余弦信号，基于此帮助学生建立利用频域表示信号的方法。然后，通过信号的时域波形表示，引导学生思考并总结出如何用图形的方式来展示正余弦信号的三要素表示法，即正余弦信号的频谱图；振幅谱——振幅与频率的关系图；相位谱——相位与频率的关系图。基于此，帮助学生建立利用频域观测信号的方法。最后，让学生利用正余弦信号的频域表示及其频谱图来探索一下，一般周期信号的频域表示和频谱图。可提示学生高等数学中有关周期信号与三角函数关系的知识，即傅立叶级数展开，如式（1）。结合式（2）（3）（4），便可得到一般周期信号的三要素表示法及其频谱图。

通过上述讲述过程，由直观到抽象，由具体到一般，由浅入深，使学生在老师的启发下，逐步建立频谱的概念，使学生理解频谱代表了信号中包含的不同频率的正弦分量。频谱实际是将信号按变化的快慢分解，这样就可以对信号按不同的频率成分进行不同的处理，由此帮助学生建立频域分析的意识，这也是本堂课的重点。

第三，实践检验，掌握新知。结合案例法，利用图形展示周期信号频谱分析的应用，并让学生利用频谱知识实现案例中的结果，使其在实践中加深对频谱分析的理解与掌握，使所学的具体知识转化为能力。

第四，精简小结，巩固新知。通过梳理学生认识的结果，进一步强化对周期信号频谱的认识，并为下次课做好必要的铺垫。

2.案例法

案例教学法是一种以案例为基础的教学法，[5]通过对典型事例进行分析，使学生主动学习，并对案例中所涵盖的知识获得更透彻的理解。教师在教学中扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生积极参与，发挥其主观能动性。

案例法与以教师课堂讲授为主的传统教学方法相比，有诸多优点：首先，可以启发和促进学生思考问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。其次，案例的生动性、可读性，可以有效地调动学生的学习积极性，弥补纯理论讲述枯燥的不足，改变理论与实践相脱节的现象。

本次课在第三步实践检验环节，选择了某高校学生利用电话拨号音破解某公司CEO的手机号码这一热点事件为例，展示周期信号频谱的应用，进一步激发学生对频谱的兴趣，加深学生对频谱的理解和掌握。

首先，通过一段新闻视频向学生呈现此案例。

其次，案例分析环节要求学生个人分析或小组讨论，确定视频案例中的关键信息是什么；分析案例的关键性内容与此次课内容的关系；通过对案例的分析，思考解决问题的方法。

然后，向学生展示号码1和2两个按键音的时域波形图，如图2和图3所示。从时域波形上，得不到什么特别信息来区别这两个号码。接着，展示这两个拨号音对应的频谱图——幅度谱，如图4和图5所示。通过对比时域和频域波形，学生可以直观地从频谱图上看出按键音的幅度在两个频率点上的值比较大，并且这两个频率点一个为高频和一个为低频，即两个频率成分构成。这种由两个音频频率叠加成一个双音频信号的拨号方式称为双音多频（DTMF）。话机各拨号音与频率的映射表，如表1所示，不同的按键由不同的高频和低频正弦信号组合构成，所以有着不同的声音。比如按键1，对应着697Hz和1209Hz两个频率。

最后，基于此次课的频谱知识并结合DTMF理论，给学生一个电话号码拨号音的时域波形和频谱图，让学生利用此次课的知识实践完成拨号音的破解。

此案例结合图形演示不仅让学生加深了对频谱概念的直观理解，还为学生打开了认识“世界”的另一扇窗——变换域的分析方法。

三、结束语

“信号与系统”是电子信息类专业的专业基础核心课，其中一些内容学生感觉较难掌握，这就要求教师更细致、全面、深入地备课和讲授。本文以周期信号频谱的教学为例，以概念建立作为教学目标，在教学模式的设计上主要运用启发式教学法和案例法，利用图形演示，启发引导学生，从加深对已知对象的认知到依据新的认知产生新的知识，在完成知识增长的同时接受科学思维方法的熏陶。启发式教学法并结合典型案例有机结合来讲述周期信号的频谱，对教材内容给予了很好的补充，取得了良好的教学效果。

参考文献：

[1]管致中，夏恭恪，孟桥.信号与线性系统[M].第4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]吴大正.信号与线性系统分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]孙霞，章茜.建构主义学习观下高职数学问题启发式教学的探索[J].西北成人教育学报，2013，1（1）：25-43.

[5]张冠英.浅谈案例教学法在电工学教学中的应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2012，12（3）：105-109.