“说”出来的问题“说”出来的思考

摘 要：说题是一种教学研讨形式，通过说题，教师把对数学知识的掌握、对数学方法的理解以及个人的教学理念融入到说题的过程中去，可以更好地提升教师业务素质，提升数学学科教育教学水平。说出来的是解法，听出来的是思想和方法，呈现的是教师的学科理论功底。

关键词：选题；说题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）27-0058-03

说题是近年来课程改革与实践中出现的一种教学研讨形式，它对于促进教师对例题、习题、各种试题的深入研究，把握命题的趋势，进而指导课堂教学，引导学生提出问题，提升教师专业素养，整体提升数学学科教育教学水平，有着非常积极的作用。从形式上看，说题大致可分为“学生说题”、“教师说题”及“师生互动说题”三类。现结合自己的教学实践，通过说题实例，谈谈对教师说题的思考。

一、选题

要尽量贴近教学实际，多从教材选题，精选高考题，支持原创，题目选择不是越难越好，而是越有代表性越好。

例题：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使2a+b最大时， - + 的最小值为

.（2014年高考辽宁卷理科第16题）

这是一个多元函数最值问题，也是最近几年高考试题中时常出现的，充分体现了等量关系和不等关系的辩证统一。多元函数的最值问题一般都含有两个或两个以上的变元，常与函数、方程、不等式、三角、线性规划等知识交汇，综合性强，技巧性高，之所以选择这个题目，主要是考虑题目呈现的知识和思想方法有利于提升教师的业务素养，可以考虑用来教学研讨。

二、说题

作为一道填空压轴题，本题创新意识浓厚，打破常规，由已知条件（方程）求函数的最值，同时把一个最值作条件，求三元函数的最值问题。该题的编拟充分体现课程标准理念和教材的设计意图，简朴中显特色，平凡中见真谛，所用到的知识比较基础，不偏不怪，但要想完整解答，须具备较强的思维能力和分析问题、解决问题的能力，彰显了“由知识立意转向能力立意”的命题理念。

说题过程中，一定要避免“就题说题”，说题不是解题，某种程度上，说题更需要于无声处“说”惊雷。说题还应避免说成一个教学设计，说题除了说出背景、解法，更重要的是说出其题目中渗透的数学思想和数学方法以及对思维培养方面的作用等。说题有时是教学设计的一个片断，但要高于教学设计，同时还要避免形式化，程序化。由于说题的对象是教师，在说题过程中，要把对数学知识的掌握、对数学方法的理解以及数学教学的理念融入到说题的过程中去，说出来的是解法，听出来的是思想和方法，呈现的是教师的学科理论功底。

思考一：遇到一个比较复杂的问题怎么办？毫无疑问，可以考虑转化为两个或两个以上相对简单的问题，通过对简单问题的解决，进而解决复杂的问题，即化繁为简，这也是解决数学问题的最常用的化归的数学思想。按照这个思路，本题可以转化为以下两个问题。

问题一：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，求2a+b的最大值；

问题二：在问题一的基础上，求函数y= - + 的最小值。

思考二：对于多元函数的问题，一个基本思路，就是转化为一元或二元函数，也就是消元，这样就把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，因为在中学阶段，学生能够处理的主要是一元和二元函数，其中二元函数主要是借助于不等式或转化为一元函数来处理。接下来就从这两个角度来处理本题。

1.转化为二元函数，借助不等式处理。

解法一：利用不等式ab≤ 2。

由题意得

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）

=（2a+b）2- 2b（2a-b）≥（2a+b）2- 2

= （2a+b）2，（2a+b）2≤

2a+b≤ .

因此，当且仅当2b=2a-b即2a=3b时，等号成立，将2a=3b代入c=4a2-2ab+4b2，得c=10b2，问题一得解。

问题二可以利用问题一的解答，把三元函数转化为一元（二次）函数，达到了消元的目的，进而求解。即y= - + = - + = -22-2，ymin=-2.

要想熟练地使用基本不等式解决问题，必须对于不等式的各种应用比较熟练，以上问题一的解答方法来源于下面一个常见的问题：

已知x>0，y>0，x+y+xy-3=0，求x+y（xy）的最小（大）值。

解法二：利用柯西不等式。

由题意得4a2-2ab+4b2=c，配方得，2a- 2+ b2=c

（2a+b）2=1×+ × b2

≤12+ 2・（2a+b）2+ b2

= c.

当（2a-b）2= c2a=3b时，解得，c=10b2以下同解法一。

需要指出的是，柯西不等式的使用方法有多种，技巧性很强，详见参考文献[2]，此处不再赘述。

2.把多元函数转化为一元函数，换元法是常用的方法 。通过换元可以化繁为简、化难为易，把复杂问题转化为比较简单问题，从而使问题得到解决。换元的方式有：整体换元、三角换元、均值换元等。

解法三：判别式法。

令2a+b=t，b=t-2a代入4a2-2ab+4b2=c得到24a2-18at+4t2-c=0，该方程是关于a的二次方程，且有实数根，所以≥0，解得t2≤ c。即（2a+b）2= c，再把代入，得到2a=3b，以下同解法一。

在一元二次方程中，判别式是联系等量关系和不等关系的一个桥梁，适当地设置主元，有时会有意想不到的结果，值得认真体会。

解法四：减少未知量的个数，三角换元也是经常采用的方法。

由题意得4a2-2ab+4b2=c，配方得，2a- 2+ b2=c

令（2a- = cosθ b= sinθ

可得2a= sinθ+ cosθb= sinθ

2a+b= sinθ+ sinθ+ cosθ

= sinθ+ cosθ= sin（θ+φ）

所以2a+bmin= ，即（2a-b）2= c以下同解法一

除了以上两种换元方法，对条件适当变形，注意一下换元时机，也有类似方法。另外，对a，b进行代数换元也是一种处理方法，考虑到学生实际，不再一一介绍；对于程度比较好的学生，可以考虑作一介绍，详见参考文献[2]。

思考三：代数问题处理过程中，如果能够充分考虑代数式的结构特征，有时还可以有意外的收获，本题使用正余弦定理后，同样达到了减少变量个数的目的，可以很好地提升对知识的理解。

解法五：由题意，a，b同号，当a>0，b>0由4a2-2ab+4b2=c得（2a）2+（2b）2-2・2a・2b・ =（ ）2，由余弦定理，可以构造三角形，所以cosθ= ，sinθ= = 由正弦定理得

2a+b=

= 2sinA+sin（A+θ）

= sinA+ cosA

= sin（θ+φ）

所以2a+bmin= ，即（2a-b）2= c以下同解法一。

当a0分别代替上面的a，b，同理可求。

当然，此题还有一些其他解法，比如数形结合，可转化为截距。说题未必一定要把所有解法说完（某种程度上也不太可能），而是要把处理问题的通性通法说清楚，这才是说题的目的。本题思想深刻，内涵丰富，将知识内容和等价转化、数形结合、换元法等数学思想和数学方法融为一体，让人感觉平凡中出新意。此题也进一步启示我们，数学教学应加强数学知识间的联系，突出数学思想和数学方法的挖掘、提炼和渗透，加强思维探究，突出培养学生对新问题的选择应变能力和分析问题、解决问题的能力。

三、说题与解题

把题说好离不开对解题方法的研究，而解题能力是一个数学教师素质的重要组成部分，因此，提高数学教师的解题能力显得尤为重要。通过说题活动中的解法探究，能清晰了解试题的背景，能多观点、多角度地对试题进行剖析；通过变式拓展，不仅能体现数学的思想和方法，突出数学的本质，而且能在课堂教学中帮助学生加深理解，达到解一题知一类的效果，提高解题的实效。长期坚持“说题”必然促使教师自身掌握的数学知识的熟练，其理论学习变得越来越广博而深刻，理论应用变得熟练而高效，从而促进教师自身素养产生质的变化，由经验型教师逐步提升为理论型教师、科研型教师。

参考文献：

[1]孔祥武.例谈多元函数最值的求法[J].湖北：华中师范大学，2014，5～6.

[2]洪恩锋，李 涛，魏定波.2014年高考辽宁卷理科第16题解法赏析[J].湖北：苏州大学，2014，8.

[3]黄丽生，朱信富.多视角审视 全方位探究――2014年辽宁卷高考（理）第16题解法赏析[J].湖北：湖北大学，2014，9.

[4]程 坚.高中数学教师说题探究[J].江西：江西师范大学， 2014，8.