与直线有关的最值问题

近年来，高考在综合考查学生数学基础知识和基本方法的同时，重点考查学生正确使用数形结合、分类讨论等数学思想方法解决数学问题的能力。因而在平时教学中教师应加强学生知识间的纵横向联系和对数学基本思想方法的渗透及理性思维能力的培养。

直线方程从代数角度而言是函数中最简单的一种形式，也是学习解析几何的基础，而均值不等式是求函数最值的重要工具。下面以直线为背景研究四种最值问题的求解。

例1：过点P（2，1）作直线l与x轴、y轴正半轴交于A，B两点，求使AOB面积最小时的直线l的方程。

分析1：因为直线l已过定点P（2，1），只缺斜率k，可先设出直线l的点斜式方程，易知k＜0，再用k表示点A，B坐标，结合函数及不等式知识求解。

解法1：由题知，直线l的斜率存在且为k，则设l的方程为y-1=k（x-2），（k≠0）。

令y=0，得x=2- ，即A（2- ，0）。

令x=0，得y=1-2k，即B（0，1-2k）。

又直线l与x轴、y轴的交点均在正半轴上，

因而2- ＞0，且1-2k＞0，得k＜0。

AOB的面积S= |OA||OB|= （2- ）（1-2k）= （4- -4k）。

（- ）+（-4k）≥4（当且仅当- =-4k，且k＜0，即k=- 时取等号），

k=- 时S有最小值4，此时直线l的方程为x+2y-4=0。

分析2：题目中涉及直线l与y轴的交点B，则设B（0，b），由B，P两点可得直线的斜率，可利用直线方程的斜截式求解。

解法2：设B（0，b），由题知l的斜率存在即b≠1，且b＞0，

由斜截式得l方程为y= x+b。

令y=0，得x= ，即A（ ，0）。

l与x轴正半轴交于A得 ＞0，

又b＞0且b≠1，

b＞1，

AOB的面积S= |OA||OB|= ・ ・b= =（b-1）+ +2≥4（当且仅当b-1= ，且b＞1，即b=2时取等号）。

此时直线l的方程为x+2y-4=0。

分析3：若想用直线的两点式求解，需另设一点可能会产生两个未知量，而题中涉及l与x轴的交点A，不妨设A点坐标利用两点式求解。

解法3：设A（a，0），由题知l的斜率存在，即a≠2且a＞0。

那么由两点式得l方程为 = ，即y= 。

令x=0，得y= ，即B（0， ）。

l与y轴正半轴交于B得 ＞0，

又a＞0，且a≠2，

a＞2。

S = |OA||OB|= ・a・ = == ［（a-2）+ +4］≥4（当且仅当a-2= ，且a＞2，即a=4时取等号）。

此时直线l的方程为x+2y-4=0。

分析4：由于题中AOB的两直角边长就是直线l的纵、横截距，因此联想到可用截距式求解。

解法4：设A（a，0），B（0，b）且a＞0，b＞0，

则直线l的方程为 + =1。

直线l过点P（2，1），

+ =1。

由均值不等式：1= + ≥2 （当且仅当 = = ，即a=4，b=2时取等号），

得ab≥8。

AOB的面积S= ab≥4。

此时直线l的方程为 + =1，即x+2y-4=0。

点评：以上4种解法各有千秋、异曲同工，但都是运用均值不等式求面积最值，在运用过程中应注意对所设变量范围的确定及常用变形技巧。此道题综合性强，方法灵活，为复习课中不可多得的一道题。

例2：过点P（2，1）作直线l与x轴、y轴正半轴交于A，B两点，若|PA|・|PB|取得最小值时，求直线l的方程。

分析1：已知直线l过定点，可用点斜式求解。

解法1：由题知，直线l的斜率存在且为k（k＜0），则l方程可设为y-1=k（x-2）。

令y=0，得点A（2- ，0）。

令x=0，得点B（0，1-2k）。

|PA|・|PB|= ・ = ≥4。（当且仅当k = ，且k＜0，即k=-1时取等号）。

直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

分析2：如下图知∠BAO是直线l的倾斜角的补角，要求倾斜角，应先求∠BAO。

解法2：设∠BAO=θ，则|PA|= ，|PB|= （0＜θ＜ ）。

|PA|・|PB|= = ≥4（当θ= 时取等号），

直线l的倾斜角为π-θ= π，即斜率k=tan π=-1。

直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

点评：本题从边、角两个角度求解，但方法2抓住斜率的定义通过求倾斜角而获得，较方法1略胜一筹。

例3：过点P（1，4）作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程。

分析：直线l过定点P（1，4）可用点斜式求解。题中涉及纵、横截距之和，故可利用截距式求解。

解法1：由题知，直线l的斜率存在且为k（k≠0），则l方程可设为y-4=k（x-1）。

令y=0，得x= +1＞0。

令x=0，得y=4-k＞0，则k＜0。

（4-k）+（ +1）=5+（-k）+（- ）≥9（当且仅当-k=- ，且k＜0，即k=-2时取等号）。

直线l方程为y-4=-2（x-1），即2x+y-6=0。

解法2：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则l方程可设为 + =1。

直线l过点P（1，4），

+ =1，

a+b=（a+b）（ + ）=5+ + ≥9（当且仅当 = ，且 + =1，即a=3，b=6时取等号），

直线l方程为 + =1，即2x+y-6=0。

点评：解法1属通常解法，解法2利用1的整体代换简单快捷，较方法1灵活。

例4：为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪。另外，AEF内部有一文物保护区不能占用。经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m。应如何设计才能使草坪面积最大。

分析：如下图，建立直角坐标系，草坪面积的大小直接由点G决定。因而本题关键是确定点G的位置。

解法：以点A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系。设G（a，b）且a＞0，b＞0。

由题知EF所在的直线方程为 + =1，即2x+3y=60。

点G在EF上，故2a+3b=60。

矩形GMCN的面积

S=|GM|・|GN|=（100-a）（80-b）= （200-2a）（240-3b）≤ ［ ］ = 。

（当且仅当200-2a=240-3b，且2a+3b=60，即a=5，b= 时取等号）

此时 =5 ，即G（5， ）分 所成的比为5。

答：当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且分 所成的比为5时，草坪面积最大。

点评：本题关键是利用坐标法确定点G位置及量化草坪面积进而求最值，在最值求解过程中注意凑定和的变形技巧。

本文以直线为背景，研究了面积，两边之积，横、纵截距之和，点G位置确定草坪面积的四种最值问题。由于直线方程有四种特殊形式，因而一题多解，方法灵活，进而运用均值不等式求最值的变形技巧不同，解题繁简程度也不同。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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