勾股数的探索

初中数学课本苏科版（八年级上册）《综合与实践活动》第26页《勾股数的探索》，课本部分内容如下：

与直角三角形三条边长对应的三个正整数（a，b，c）称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四玄五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数.显然，这组数的整数倍，如（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数.

当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13），（8，15，17）等也都是勾股数.

怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a，b，c），才能满足关系式a2+b2=c2？

活动1：设（a，b，c）为一组勾股数，填表：

活动2：（1）在表1中，a为奇数，正整数b和c之间的数量关系是_____，b、c与a2之间的关系是_____，根据以上规律，写出勾股数（13，_____，_____）.

（2）一般的，当a=2n+1（n为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式.

活动3：（1）在表2中，a为大于4的偶数，正整数b和c之间的数量关系是_____，b、c与a2之间的关系是_____，根据以上规律，写出勾股数（16，_____，_____）.

（2）一般的，当a=2n（n>2正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式.

课本答案：活动1：40，60、61；35，48、50.

活动2：（1）c=b+1，b+c=a2，84，85.

（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）

活动3：（1）c=b+2，b+c=a2，63，65.

（2）（2n，n2-1，n2+1）

对教材的分析与理解：

（1）对于勾股数（a，b，c）中，当a为奇数时，c比b大1，即c=b+1，于是，b+c=a2，b=（a2-1）.所以，只要给定一个奇数a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股数组（a，b，c）的值.

（2）对于勾股数（a，b，c）中，当a为大于4的偶数时，c比b大2，即c=b+2，于是，b+c=a2，b=（a2-22）.所以，只要给定一个偶数a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股数组（a，b，c）的值.

探索与发现：怎样探索勾股数呢？在已知一个数a的条件下，这样的一组正整数（a，b，c），并且满足关系式a2+b2=c2中的正整数b和c是唯一的吗？

请看下面的表3和表4：

观察表3，当a为奇数时，发现正整数b和c之间的数量关系不仅仅是c=b+1，还可以是c=b+3，和c=b+5，c=b+7，c=b+9…b、c

与a2之间的关系又是什么呢？.

经过仔细的观察与思考，我们发现c比b大的数有1，3，5，7，9…这些数正好是a中正的真奇数因数.

观察表4，当a为大于4的偶数时，发现正整数b和c之间的数量关系不仅仅是c=b+2，还可以是c=b+4，和c=b+6，c=b+8，c=b+10…b、c与a2之间的关系又是什么呢？

经过仔细的观察与思考，我们发现c比b大的数有2，4，6，8，10…的这些数，正好是a中正的真偶数因数.

所以，只要给出一个数a的值，我们就很快地找到a的真因数m，通过a和m的数值就可以求出b、c的值，从而求出勾股数（a，b，c）.

结论：一般的，在勾股数（a，b，c）中，a

（1）当a为奇数时，m是a的真奇数因数，

则有：c=b+m，b+c=2，b=（a2-m2）.

（2）当a为大于4的偶数时，m是a的真偶数因数，

则有：c=b+m，b+c=a2，b=（a2-m2），

运用：（1）已知，a=21，求勾股数（a，b，c）.

解：a=21是奇数，m=1，3，7（21的真奇数因数1，3，7）.

①当m=1时，b=（a2-m2）=（212-12）=220，c=b+m=221，

勾股数（a，b，c）=（21，220，221）.

②当m=3时，b=（a2-m2）=（212-32）=72，c=b+m=75，

勾股数（a，b，c）=（21，72，75）.

③当m=7时，b=（a2-m2）=（212-72）=28，c=b+m=35，

勾股数（a，b，c）=（21，28，35）.

满足条件的勾股数（a，b，c）有三组：

即（a，b，c）=（21，220，221），（21，72，75），（21，28，35）。

（2）已知，a=24，求勾股数（a，b，c）.

解：a=24是偶数，m=2，4，6，8，12（24的真偶数因数2，4，6，8，12）

①当m=2时，b=（a2-m2）=（242-22）=143，c=b+m=145，

勾股数（a，b，c）=（24，143，145）.

②当m=4时，b=（a2-m2）=（242-42）=70，c=b+m=74，

勾股数（a，b，c）=（24，70，74）.

③当m=6时，b=（a2-m2）=（242-62）=45，c=b+m=51，

勾股数（a，b，c）=（24，45，51）.

④当m=8时，b=（a2-m2）=（242-82）=32，c=b+m=40，

勾股数（a，b，c）=（24，32，40）.

⑤当m=12时，b=（a2-m2）=（242-122）=18，c=b+m=30，

勾股数（a，b，c）=（24，18，30）.

满足条件的勾股数（a，b，c）有五组：

即（a，b，c）=（24，143，145），（24，70，74），（24，45，51），（24，32，40），（24，18，30）.

（作者单位 江苏省南京市六合区瓜埠初级中学）