Bayes理论在土木工程中的应用概述

摘要：Bayes理论使用概率去表示所有形式的不确定性，通过概率规则来实现学习和推理过程，它的结果表示为随机变量的概率分布，可以理解为我们对不同可能性的信任程度。本文介绍了Bayes理论的基本观点和它的研究意义，并就Bayes理论在土木工程中的广范应用做些概括总结。

关键词：Bayes理论随机变量土木工程

中图分类号：S969.1 文献标识码：A 文章编号：

1 引言

概率推理是对随机现象或者不确定信息作出推理和决策，概率推理既是概率学和逻辑学的研究对象，也是心理学的研究对象，但研究的角度是不同的[[[] 陈开明.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,1988.]]。贝叶斯理论的问题是条件概率问题，对这个领域的深入研究推动了概率信息认知加工过程的进程，同时对人们学习和判断决策有重要的理论意义和实际意义。

随着计算机网络和数据库技术的普遍应用，数据收集呈现高速化、便捷化发展，计算机科学家与工程师如何从堆积如山的数据中提取合理有效的结果成为一项严峻的挑战。为了适应这一迫切需求，数据挖掘作为理论性与应用性结合最为密切的一个研究领域，迅速大地发展起来。Bayes理论在数据挖掘中获得成功的应用。对Bayes理论研究最大的动力就是它在实际应用中的巨大作用和潜力。目前。Bayes理论已经成功地应用到智能用户接口、医学诊断、武器制导、信息滤波、经济预测、车辆自动导航等领域，也在土木工程中可靠性工程设计、结构疲劳分析、岩体工程、市场预测、风险决策等方面做出了突出贡献。

2Bayes基本原理

贝叶斯理论起源于英国学者马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1702-1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”（1763年发表）。在这篇论文中，他提出了著名的贝叶斯公式和一种归纳推理方法。著名的数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯[[[] 于忠义.谁开创了贝叶斯学派? [J].统计与信息论坛,2008.]]（Laplace，Pierre-Simon，1748-1827）用贝叶斯提出的方法，导出了重要的“相继律”，贝叶斯的方法和理论逐渐被人理解和重视起来。

对于一个连续型随机变量，假设其概率密度函数为，是未知参数。根据相关知识和经验资料，可以确定的概率密度函数，记为，称为未知参数的先验分布。

在实际的观测中对于获得的随机变量的一组观测数据，，，，，构成了的一个随机样本，观测数据是相互独立且各自服从正态分布。因此，可以得出它们的联合概率密度函数为：

(1)

记向量，则（1）式可改写为：

(1a)

现在通过的这一组样本，结合的先验分布，重新求的概率分布。根据Bayes定理，

由条件概率的公式，得：

（2）

记： （3）

（4）

（5）

则式（2）可表示为：

（2a）

显然，为与参数无关的常数；称为未知参数的似然函数，它包含了实际中的观测数据信息；同时，称为未知参数的后验分布，它所包含的信息是通过实际中的观测数据信息对相关知识和经验资料的先验信息进行更新后得到的。

如果将先验信息理解为主观信息，而似然函数包含的信息理解为客观信息，由式（2a）可以看出，后验信息（分布）是主观信息和客观信息的综合既可避免只使用先验信息带来的主观偏见和缺乏样本信息时的大量盲目搜索与计算，也可避免只使用后验信息带来的客观影响。因此，Bayes方法适用于具有概率特征的数据采集和知识发现问题，尤其是样本难以取得或代价昂贵的问题。合理准确地确定先验分布是Bayes方法进行有效学习的关键问题。

3 Bayes理论在土木工程中的广泛应用

3.1 Bayes理论在结构可靠度方面的应用

工程可靠度方面，Bayes方法已经得到了广泛的应用。用贝叶斯方法处理一些复杂的可靠性分析问题，往往比用频率方法更简便有效，如美国科学家运用贝叶斯方法将MX导弹的发射试验次数从原来的36次减少到25次，而可靠性却从72%提高到93%，节约费用2.5亿美元[[[] 余强、姚宗静.Bayes统计的起源、发展和若干应用[J].考试周刊,2010.]]。尤其在试验费用大，数据量少的情况下，更需要尽可能的搜集、充分利用各种定量或定性的先验信息，通过正常的逻辑思维推导出参数的先验分布，成为验后样本量不足的合理的补充，从而解决经典方法不能解决的许多问题。实际工程中，在做实验之前，我们根据进行过的同类实验或者类似实验以及经过验证的理论对实验的结果我们可以有个粗略的估计或许推论，换句话说，我们利用以往的经验和本次试验数据相结合以共同做出决断，这就是经验Bayes方法的核心[[[] 董聪.可靠性工程中的经验Bayes方法[D].北京：北京航空航天大学,1995.]]。李福龙利用Bayes估计对正态-正态结构串联系统的可靠度置信限作出了研究[[[] 李福龙,魏永德 正态-正态结构串联系统可靠度的Bayes估计[J].数学研究与评论,1995。]]，吕大刚利用Bayes统计理论，研究考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法，给出了考虑统计与模型不确定性的各种可靠性测度，分析了统计与模型不确定性对结构可靠度的影响[[[]吕大刚 宋鹏彦等 考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法[J].哈尔滨工业大学学报,2011. ]]。

3.2 Bayes理论在结构疲劳研究的应用

在结构疲劳试验方面，由于疲劳试验费时费力，结构疲劳试验只可能是小样本试验，因样本容量小，所给的信息有限，给统计推断带来一定的困难[[[] 张家新,王自力.贝叶斯方法在船体结构疲劳分析中的应用[J].造船技术,2000]]。Bayes方法综合利用总体信息、样本信息及经验信息来推断后验分布，从而减小了小样本估计的误差。将其用在结构疲劳统计分析可获得比传统方法更可靠更安全的结果。Bayes方法既可用于疲劳分布模型的确定，又可用于疲劳设计曲线的建立，通过Bayes方法建立的疲劳设计曲线比传统疲劳设计曲线更安全可靠，因为它既考虑了统计不确定性影响，又合理了越出数据问题，适合工程应用。施剑玮结合Bayes估计理论和加速寿命试验理论，提出了一个估计构件疲劳极限的极小样本方法，计算方便，计算结果与传统方法确定的疲劳极限的结果符合较好[[[] 施剑玮.估计构件疲劳极限的Bayes极小样本方法[J].机械强度,2007,29(2).]]。王优强推导出在只有小样本数据情况下，利用模糊Bayes理论方法确定连续油管疲劳寿命概率分布模型[[[] 王优强、张嗣伟.用模糊Bayes方法确定连续油管的疲劳寿命分布[J].石油机械,1999.]]。

3.3 Bayes理论在健康检测方面的应用

结构由于设计、施工和运营期间环境作用等原因或多或少都存在缺陷，这些缺陷称为损伤。结构发生损伤以后将严重影响结构的承载能力及其耐久性，甚至发生严重的工程事故，因此对已建成的结构和设施采用有效的手段监测和评定其安全状况、修复和控制损伤是十分必要的[[[] 刘涛，李爱群等.基于数据融合的结构损伤识别方法研究[J].工程力学.2008.]]。结构损伤识别方法主要是传统的结构损伤检测方法、基于振动的结构损伤识别方法及基于统计推理的在线结构损伤识别方法。基于统计推理的在线结构损伤识别方法正是贝叶斯方法在损伤识别中的具体应用。Bayes识别方法的基本思想是把所要估计的参数看作是随机变量，然后设法通过观测与该参数有关联的其他变量，以此来推断这个参数。

3.4 Bayes理论在岩土工程领域的应用

近年来Bayes方法在岩体工程中也得到了广泛的应用。由于岩体本身具有很大的变异性及人们对岩体认识的局限性，岩体工程的设计和施工具有不确定性。1983年初，在同济大学召开了“概率论与统计学在岩土工程中的应用”专题学术讨论会，推动了岩土工程可靠度理论的研究；同年的“攀钢石灰石边坡可靠度与经济分析研究”课题是我国第一个在岩体可靠度领域的部级研究成果；张广文利用先验分布和样本统计推导出岩体力学参数后验分布,在小样本下，这种统计方法具有优良性、无偏性、有效性，且推断参数的概率分布的误差也较小[[[] 张广文.土石坝筑坝材料基本参数概率统计与相关分析[J].水利水电技术,1994,40（9）]]。光耀华应用Bayes估计来评定岩石抗剪参数的可靠性，克服了岩土工程试验样本少，参数可靠性低的困难[[[] 光耀华.岩石抗剪强度指标的概率分析[J].岩石力学与工程学报,1994,13（4）]]。文畅平将Bayes判别分析方法应用于岩体质量等级判别与分类中，建立了岩体质量综合评判的Bayes判别分析模型，模型选用岩石质量指标、完整性系数、单轴饱和抗压强度、纵波波速、弹性抗力系数和结构面摩擦因数等6个指标作为判别因子[[[] 文畅平.岩体质量分级的Bayes判别分析方法[J].煤炭学报,2008]]。

4 Bayes理论的发展－Bayes动态预测模型理论

Bayes动态预测模型理论是20世纪70年展起来的一套新的时间序列分析方法，是Bayes统计的思想和动态模型的结合，是一种针对过程的Bayes预测方法，正好适合结构性能退化是一个长期过程的特点。所谓的动态模型是由两个方程确定的系统，这个系统描述：(1)过程的观测值如何随机地依赖于当前的状态参数；（2）状态参数如何随时间变化，表示了系统内部的动态变化和随机扰动[[[] 齐静.动态Poisson模型及其贝叶斯预测[D].中山大学,2005]]。在动态模型中，Bayes预测的递推方法如下图所示。

Bayes预测模型由于利用了经验和历史资料的先验信息，与普通回归预测模型相比，有明显的优越性，因此在解决这类相关问题时，可以适用与多个领域。

5 结论

本文介绍了Bayes理论的基本观点和它的研究现状与意义，并就它在现在工程领域的工程可靠度、结构疲劳试验、结构损伤识别方法、岩体工程几个方面做了概括总结，当然它在其他方面也有广泛的应用，需要进行更深入的探索和完善。

参考文献

[1] 陈开明.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,1988.

[2] 于忠义.谁开创了贝叶斯学派? [J].统计与信息论坛,2008.

[3] 余强、姚宗静.Bayes统计的起源、发展和若干应用[J].考试周刊,2010.

[4] 董聪.可靠性工程中的经验Bayes方法[D].北京：北京航空航天大学,1995.

[5] 李福龙,魏永德 正态-正态结构串联系统可靠度的Bayes估计[J].数学研究与评论,1995。

[6] 吕大刚 宋鹏彦等 考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法[J].哈尔滨工业大学学报,2011.

[7] 张家新,王自力.贝叶斯方法在船体结构疲劳分析中的应用[J].造船技术,2000

[8] 施剑玮.估计构件疲劳极限的Bayes极小样本方法[J].机械强度,2007,29(2).

[9] 王优强、张嗣伟.用模糊Bayes方法确定连续油管的疲劳寿命分布[J].石油机械,1999.

[10] 刘涛，李爱群等.基于数据融合的结构损伤识别方法研究[J].工程力学.2008.

[11] 张广文.土石坝筑坝材料基本参数概率统计与相关分析[J].水利水电技术,1994,40（9）

[12] 光耀华.岩石抗剪强度指标的概率分析[J].岩石力学与工程学报,1994,13（4）

[13] 文畅平.岩体质量分级的Bayes判别分析方法[J].煤炭学报,2008

[14] 齐静.动态Poisson模型及其贝叶斯预测[D].中山大学,2005