匀变速直线运动速度反向问题明析

摘要：本文旨在解决匀变速直线运动反向问题，通过对速度反向的匀变速直线运动分段求解和全过程用匀变速直线运动规律求解进行对比，让学生明确反向匀变速直线运动的解题规律.通过对运动学规律标量形式和矢量形式对比，熟练掌握用全程匀变速直线运动规律解决加速不变的反向运动问题.

关键词：加速度；匀变速直线运动；速度反向

匀变速直线运动是高中物理常见且重要的一种运动形式，匀变速直线运动是力和运动关系的一种表现形式.从运动的性质分析，匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动，它分为两种形式：速度均匀增加的匀变速和速度均匀减小的匀减速；从力和运动关系分析，分为合力方向与速度方向始终相同的匀加速和合力方向与初速度方向相反的匀减速，其中，合力方向与初速度方向相反，物体有可能停下来，也有可能速度减为零后继续反向加速，因为力的方向没有变化，但速度减小到零后只能沿力的方向加速，与原来的运动方向显然相反，然而很多同学对于匀变速直线运动速度反向的直线运动形式处理起来不太顺手.本文通过几道例题分析关于速度反向的匀变速直线运动的解题思路.

例1一个人站在一座很高的楼顶的边缘，将一物体以20m/s的初速度竖直向上抛出.忽略空气阻力，重力加速度大小g=10m/s2，求t=5s时物体的速度和5s内的位移.

解析：我们知道，竖直上抛是一种特殊的匀变速直线运动，它可以分为竖直向上的匀减速和自由落体两个阶段.而运动学公式只有规定了正方向才可以给出，一般设初速度方向为正，初速度为零的则以加速度方向为正，实际上也是初速度方向，因为物体从静止出发，只能沿加速度方向\动.因此，一种运动形式也就有了两个正方向，上升是竖直向上为正，下降是竖直向下为正.这样解出的位移也就没有负数，只有正数.

方法1：如果把运动分成上升阶段和下降阶段，初速度为20m/s，加速度大小为10m/s2，由于物体做减速运动，根据加速度定义，速度每秒减小10m/s，2s减为零，剩下3s，显然开始做自由落体运动，即做初速度为零的匀加速，根据加速度定义式，速度每秒增加10m/s，则再经3s速度大小变为30m/s，显然与初速度方向相反.再分别求出2s位移的大小和后3s位移的大小可求5s内的位移.

解：取向上为正，设上升时间为t1，下降阶段时间为t2 ，则

上升阶段v=v0-gt1=0 所以t1=2s

位移大小x1=v0t1-12gt21=20m

下降阶段v=gt2=30m/s

位移大小x2=12gt22=45m

分析可知，5s末的速度为-30m/s，负号表示与初速度方向相反；5s末时物体显然在抛出点下方25m处，所以位移为Δx=-25m，负号表示在抛出点下方，位移为负值.

方法2：由于全过程加速度大小和方向都没有发生改变，即加速度恒定，加速度不变的直线运动就是匀变速直线运动，可以考虑全过程用运动学公式求解.

解：取竖直向上为正，令加速度a=-g=-10m/s2，则

v=v0+at=-30m/s

x=v0t+12at2=-25m

由以上两种方法对比可知，只要加速度不变，虽然运动方向反向，匀变速直线运动的规律仍然是可以直接应用的，第一种方法，公式中字母只代表该物理量的大小，我们称为“标量法”.而第二种方法，公式中所有字母都代表该物理量，即如果是矢量每个字母本身都是有方向的，在直线运动中用“+”“-”表示方向，我们把第二种方法称为“矢量法”.用矢量法一定注意规定正方向，与正方向相同的矢量必然为正，与正方向相反的矢量必然为负.对比可知，对于加速度不变的先减速后反向加速的直线运动采取矢量法更简洁，对于复杂的问题更容易计算.显然公式v=v0+at①，x=v0t+12at2②的矢量式可用于此种情况，把①式中加速度代入②式，可得：x=v0+v2t，显然该公式的矢量式也可用于速度方向问题.很容易可以推出所有的运动学公式的矢量形式都可以用于先减速后反向加速问题.

为了方便理解，表1给出所有的基本运动学公式减速运动时的矢量式和标量式.当然对于加速变量式和矢量式形式上没什么区别.

表1

矢量形式标量形式

v=v0+atv=v0-at

x=v0t+12at2x=v0t-12at2

x=v0+v2tx=v0+v2t

v2-v20=2axv2-v20=-2ax

特别注意的是，左侧公式中的a表示加速度的大小和方向，右侧公式中的a仅表示加速度的大小.

例2有一物体置于光滑水平面上，一水平恒力F1使物体从某点由静止加速，经过一段时间后取消F1，同时加一相反方向的水平恒力F2，经过相同时间物体回到原来的出发点，求：

（1）第一段时间与第二段时间的末速度大小之比；

（2）加速度大小a1与a2的比值；

（3）F1与F2之比为多少？

分析：根据例1的分析，先减速后加速的速度方向问题我们采取全程的矢量法，本题分为三个过程：先加速，后同向减速，再以同样的加速度大小反向加速，显然是经过了速度反向的匀变速直线运动.可以将它分成两个过程：第一段时间的匀加速和第二段时间的匀变速来处理.如果第一段时间物体从A位置运动到了B位置，第二段时间则是从B位置回到了A位置，即经过相同的时间回到出发点，根据位移的定义可知两段时间位移大小相等方向相反.

解：取恒力F1的方向为正，第一段时间的末速度为v1，第二段时间的末速度为v2，而v1为第二段时间的初速度，速度时间图象如图1所示，则

（1）第一段时间位移

x1=0+v12t

第二段时间位移x2=v1+v22t

它们的方向相反x2=-x1

由以上各式解得v2=-2v1

则速度大小之比v1v2=12

（2）a1a2=v1-0tv2-v1t=13

（3）F1F2=ma1ma2

a1a2=v1-0tv2-v1t=-13

F1F2=-13

例3火车站上由于工作人员操作失误致使一节车厢以4m/s的速度匀速滑出了车站，此时在同一轨道上一列火车正在以72km/h的速度匀速驶向车站，技术娴熟的火车司机突然发现这种紧急情况后，立即以大小为08m/s2的加速度紧急刹车，之后又立即以此加速度使火车反向加速运动，若车厢与火车相遇恰好不相撞（图2）.求：

（1）司机发现车厢向自己驶来开始制动到刚好相遇用的时间；

（2）司机发现车厢向自己驶来开始制动时离车厢的距离.

分析：设火车初速度方向为正，则厢的速度为负， 因为车厢匀速，显然只要火车速度方向不反向，就会相撞，当火车速度减小到零后开始反向，便形成了车厢追火车的追及问题，由于火车反向后加速，它们速度相等时如果车厢不能追上火车，距离就会越来越大，便不可能相遇.那么车厢与火车刚好相遇的条件是，速度相等时，车厢恰好追上火车.

解：取火车初速度方向为正，即如图3所示向右为正，则火车初速度为v1=20m/s，车厢匀速的速度为v2=-4m/s，火车的加速度为a=08m/s2.

（1）车厢与火车速度相等时，刚好相遇，则有

v1+at0=v2所以t=30s

（2）本问可以理解为，火车和车厢刚好相遇，求火车刚减速时与车厢的距离，在火车减速到和车厢速度相等这段时间内，火车位移为x1，车厢位移为x2，则

x1=v1t0+12at20=240m

（位移为正，说明从火车向右减速到它们相遇时火车向右行驶240m）

x2=v2t0=-120m（位移为负，说明从火车向右减速到它们相遇时，车厢向左行驶120m）

显然，司机发现车厢向自己驶来开始制动时离车厢的距离为：

Δx=|x1|+|x2|=360m

另解：为了更好地对比矢量法和标量法，本题用标量法来重新做一遍，以方便对比.

解：（1）由于火车速度反向，我们把火车运动分成加速和减速两个阶段，设火车从减速到减速到零的时间为t1，火车反向后到和车厢速度相等的时间为t2，则火车速度减到零.因此，有

v1-at1=0 则：t1=v1a=25s

火车反向加速到与车厢速度相等，有

v1=at2=v2则：t2=5s

刚好相遇时间t0=t1+t2=30s

（2）从火车开始减速到火车反向后和车厢速度相等，火车先向右减速后向左加速，则向右的总位移为：

x1=（v1t1-12at21）-12at22=240m

虽然是标量法，但两段位移相减为负值，可判定火车总体向左运动，两段位移相减为正值，总体向右运动.

这段时间内车厢向左行驶的位移大小为：

x2=v2t0=120m

经分析可知，刚好相遇的情况下，火车减速时距车厢距离为：Δx=x1+x2=360m

显然，第一种方法计算简洁，但第二种方法过程明了，如果借助图象，熟练后过程基本没有区别.