桁架杆机构的优化设计

摘 要：桁架结构优化设计中普遍存在约束的作用，现有优化设计一般采用满应力法、遗传优化或直接实验法搜索等优化方法，但其时间周期长、优化复杂。本文主要采用复合形法，建立了桁架结构优化设计的数学模型，利用Fortran优化程序对其进行优化并获得最优解。

关键词：桁架结构 优化设计 复合形法

一、优化目标及设计原则

1.优化目标

在工程力学教学当中，笔者利用复合形法对桁架杆进行优化设计，以求得到其最优解。桁架杆设计的优化可以选择多种目标，如尺寸最小、质量最轻、强度最高等，一般应根据不同的需要选定。笔者以桁架杆为例，以其质量最小为优化目标。

2.设计原则

在桁架杆设计时我们首先要求两杆同时满足强度条件，其次要满足几何条件约束，进而确定目标函数，并对其优化。

二、复合形法优化设计简述

复合形法的基本思路是在n维空间的可行域中选取K个设计点（通常取n+1≤K≤2n）作为初始复合形（多面体）的顶点。然后比较复合形各顶点目标函数的大小，其中把目标函数值最大的点作为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点。一般说来，此映射点的目标函数值总是小于坏点的，也就是说映射点优于坏点。这时，以映射点替换坏点与原复合形除坏点之外其余各点构成K个顶点的新的复合形。如此反复迭代计算，在可行域中不断以目标函数值低的新点代替目标函数值最大的坏点从而构成新复合形，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的各顶点与其形心非常接近、满足迭代精度要求时为止。最后输出复合形各顶点中的目标函数值最小的顶点作为近似最优点。

三、建立数学模型

1.已知参数

如桁架杆的结构，已知l=2m，xB=1m，载荷ρ=100kN桁架材料的密度 ρ=7.5×10-5N/mm3，许用拉应力[σ+ ]=150MPa，许用压应力[σ- ]=100MPa，yB的范围为：0.5m≤yB≤1.5m，求桁架杆在满足强度的条件下，其质量的最小值。

2.选取设计变量

我们要使该结构的质量最轻，则

（1）

其中：W为该结构的质量、A1 A2分别为1杆和2杆的横截面面积。所以其独立参数有A1、A2、yB，所以优化设计变量取：X=[A1、A2、yB]T=[x1，x2，x3]T

3.建立目标函数

将（1）式用设计标量表示，其目标函数为：

（2）

4.确定约束条件

（1）应力分析。

如，

由此得

由正弦定理得：

由此得1、2杆横截面上的正应力分别为：

其要满足强度条件则

（2） 约束条件

（3）

（4）

（5）

四、利用Fortran语言构建优化模型

目标函数：

min

约束条件：

G（1）=X（1）≥0 G（2）=X（2）≥0 G（3）=X（3）-500≥0

G（4）=1500-X（3）≥0 G（5）=[X（3）+0.2]2-3X（1）+1≥0

G（6）=X（4）2-4X（2）+1≥0

根据以上的目标函数和约束条件，采用复合形法优化算法，利用Fortran语言编写相应程序代码，优化结果采用目标函数最小控制，最终求解出目标函数最小时的最佳参数组合。

五、优化结果分析

经计算得最优解：

fx=125.8037N

约束函数值：

G（1）=X（1）=521.0478 G（2）=X（2）=640.3725

G（3）=X（3）=800.4236 G（4）=X（4）=699.5764

G（5）=X（5）=120.4526 G（6）=X（6）=36.88132

由此得：最优解fx=125.8037N，当其yB=800.4236、A1=521.0478mm2、A2=640.3725mm2。

（作者单位：西安航空职业技术学院）