反函数法求函数值域的讨论

摘要：函数值域的求解是中学数学的一个难点，也是一个重点。求函数值域的方法有很多，反函数法是常用的方法之一，但该法一直以来存在很多争议。本文对此提出一些自己的看法，并探讨了反函数法的使用条件，给出了一个关于反函数法的猜想。

关键字：反函数法、值域、复合函数

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函数值域的求解是中学数学的一个难点，也是一个重点。求函数值域的方法有很多，反函数法是常用的方法之一，在一些刊物、丛书，甚至中学教师使用的《教学参考书》中也颇常见。但该法一直以来存在很多争议。本文就反函数法求函数值域发表个人的一些看法。

在这之前先给出反函数的定义：

一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到 。若对于y在C中的任何一个值，通过 ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示y是自变量，x是因变量的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记作 。反函数 的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域。

注：函数存在反函数的充要条件是，定义域与值域之间的映射是一一映射。

一、反函数法合理吗？

反函数法的合理性一直遭到质疑，首先我们看个例子：

例1、 求函数 的值域。

解：去分母，得

即(1)

(2)

再由 得(3)

所以函数的值域为 的实数。

对于例1，文[1]认为由(1)式到(2)式的推导并不充分，所以其推导“缺乏依据”；只有(1)式和(3)式合起来才能推出(2)式这样又“导致循环推理”。对于这个问题，文[2]中已经给出了一种合理的解释。在此，笔者也发表自己的一点看法，反函数的定义域是由原函数的值域确定的，由于反函数与原函数的互相依赖的关系，反过来，在满足一定条件的情况下，当然可以由反函数的定义域来确定原函数的值域了。因此，笔者认为反函数法在理论上是毋庸质疑的。

二、这是反函数法吗？

例2、 求 的值域。

解：为了求值域，由原式解出 ,

得

由此得

所以函数的值域是 。

例2在解题过程中符合反函数法的一般步骤，最后的结果也是正确的。但是我们可以发现在反解的过程中得到的x关于y的表达式 中变量y所对应的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中学范畴内的函数解析式，所以不存在反函数。例2的结果虽然正确，但只是一种巧合。既然不存在反函数，当然不能用反函数法。

三、存在反函数就一定可以用反函数法吗？

例3、求函数 的值域。

解1：用配方法

由于

，且y在 上为u的增函数

时， 。

解2：用类似于例1、例2的反函数法

由原函数式解出x，得

由此得

函数的值域是 。

易验证，函数 存在反函数，反函数解析式即为 ，由解析式我们只能得到 ，事实上反函数的定义域为 （解1得出的结果是正确的）。由此我们可以看出，并不是只要原函数存在反函数就一定能用反函数法求值域。

四、什么情况可以用反函数法

由上面的讨论我们可以看出，反函数法在理论上是毋容置疑的，但是又受到种种限制，很容易造成错误的使用。因此在什么情况下可以使用反函数法就变得很有意义。

用反函数法求函数值域需满足两个条件：1题目给出的函数应该存在反函数，2 与 同解。

在中学数学所学的初等函数中满足这两个条件的很多，例如指数函数 的反函数是对数函数 ，一次函数 的反函数还是一次函数 ，反比例函数 的反函数是其本身，所有的奇次幂函数 （其中n为奇数）与对应的幂函数 （其中n为奇数）互为反函数。因此它们都可以用反函数法求函数值域。当然他们的值域教材中都已经作为结论给了出来。

显然，由上述这些类型的函数复合而成的函数的值域都可以用反函数法来求。例如形如 类的分式函数就是由一次函数和反比例函数复合而成。再如：

例4、求 的值域

解：由已知函数得

，

解得： 或 ，故函数的值域为 。

五、小结

反函数法作为一种常用的求函数值域的方法在理论上是毋庸质疑的，它有自身的优势也有很大的局限性，因此在采用某种方法之前，我们应当首先确定题目满不满足使用这种方法的条件。

参考文献

[1]孟德酉.反函数法求函数值域质疑[J].数学通报.1990.4

[2]徐益华.对《反函数法求函数值域质疑》一文的质疑[J].数学通报.1991.1

[3]廖正华.改“反函数法”为“反解法”――也谈反函数法求值域问题[J].玉溪师范学院学报.1992.5