桁架结构系统的可靠性分析

摘要：

结构系统是指若干元件组成的承受外部作用力并有特定功能的整体，在它的各个元件间存在相互作用和相互依存的关系[1]。结构系统的可靠性不同于结构构件的可靠性。结构构件可靠度相同的两个结构，由于组成结构的构件的数量不同，那么结构的可靠性就不同。了解结构的可靠性与结构构件的可靠性的相互关系，在工程应用中有重大意义。本文通过桁架结构的可靠性分析来阐明这一观点。

度量结构系统可靠性的数量指标称为结构系统的可靠度。它是指在结构系统规定的时间内，在规定的条件下完成规定功能的概率。由此可见，结构系统可靠度是结构系统可靠性的概率度量。这是基于统计数学观点下的比较科学的定义。因为在各种随机因素的影响下，结构系统完成规定功能的能力只有用概率度量才比较符合实际情况。

关键词：结构系统；可靠度

中图分类号： C35 文献标识码： A

桁架（网架）结构是一种常见的结构形式，常用于有大空间要求的工业厂房、食堂、影剧院、游泳馆、加油站等，以其受力合理，造型轻巧，节省材料，施工速度快等优点使其在工程中的应用越来越多。然而，2009年11月11日晚的一场大雪后，出现很多钢结构工程事故，引起了结构设计人员对钢结构的安全性和现行结构设计规范合理性的大讨论，使结构可靠性的话题又一次摆在广大结构设计人员面前。

目前结构系统的可靠性通过构件的可靠性来反映，并将构件的可靠指标等效地以分项系数的形式来表达。这种处理方式极大地方便了工程设计，但同时也掩盖了结构的可靠性与构件的数量及结构的冗余度有关的事实。结构的可靠性既与构件的可靠性有关，也与构件的数量有关，也就是说尽管构件的可靠度相同，由于构件的数量不同，结构的可靠性是不同的，用单一的分项系数法并不能完整的反映这一情况，这种差异可方便地通过桁架结构可靠性来说明。

现以两个简单桁架为例，见图1-1、图1-2所示：

图1―1 三杆结构系统图1―2 五杆结构系统

这两个桁架分别为三杆和五杆，且均为静定结构，其中任一杆件的失效都会导致结构破坏。如果只考虑强度破坏，且各杆件相互独立，则结构的失效模式分别有三种和五种，从概率的角度讲结构的可靠性就应该考虑各种失效的可能性，若杆件的可靠指标为3.2，那么单个杆件的失效概率为6.87x10-4，这时两种结构的失效概率分别为2.06x10-3和3.44x10-3，可见结构的失效概率大于构件的失效概率，同时五杆结构的失效概率大于三杆结构的失效概率，这种差异在杆件数量多的结构中更为明显。

为了进一步地了解结构系统可靠性的分析方法，接下来分别从结构构件的可靠性、失效模式的可靠性和结构系统的可靠性入手进行论述。

1、结构构件的可靠性

结构构件的可靠度宜采用考虑基本变量概率分布类型的一次二阶矩法进行计算[2]。文献[2]给出了结构构件承载力极限状态的可靠指标的限制。由于可靠指标的直接计算十分麻烦，为了计算简单工程上根据可靠指标的要求，等效地转化为分项系数的表达式：

（1）

式中γo―结构重要性系数，应按本标准7.0.3 条的规定采用；

γG―永久荷载分项系数，应按本标准7.0.4 条的规定采用；

γQ1，γQi―第1个和第i 个可变荷载分项系数应按本标准7.0.4 条的规定采用

SGk―永久荷载标准值的效应；

SQ1k―在基本组合中起控制作用的一个可变荷载标准值的效应；

SQik―第i个可变荷载标准值的效应；

ψci―第i个可变荷载的组合值系数，其值不应大于1；

R(・) ―结构构件的抗力函数；

γR―结构构件抗力分项系数，其值应符合各类材料结构设计规范的规定；

fk―材料性能的标准值；

ak―几何参数的标准值，当几何参数的变异对结构构件有明显影响时可另增减一个附加值α考虑其不利影响；

结构构件的可靠性可通过式（1）满足工程上的一般要求，且计算简单，为目前结构设计的通用方法。然而公式反应的只是构件的可靠性，并不能完整地反映结构系统的可靠性。在超静定结构中，单个构件的失效并不一定导致结构系统的失效，而是在结构系统中引起内力重分布，导致结构构件的可靠指标降低，失效概率加大，直至后续的构件相继失效，构件的单元刚度矩阵从总体刚度矩阵中退出，结构变为机构，丧失承载能力，形成一种失效模式。所以结构系统的可靠性应以结构失效模式的可靠性来衡量才是科学的然而也是复杂的。

2、失效模式的可靠性及其失效概率的计算

失效模式是指结构杆件的相继失效形成的一种结构破坏方式。对于超静定结构只有当构件的失效数达到一定数量时，结构系统才会失效。超静定结构有很多失效模式，在某一失效模式中，只有当这一模式中的杆件全部失效，这一失效模式才会发生，这可形象地用并联系统来模拟。

例如某一结构系统如图1―3所示：

图1―3 结构系统

对于该结构系统，单个构件（结构构件）的失效不会导致结构系统的失效，只有当失效的杆件数达到一定数量后，结构系统才失效。这种失效方式可用并联系统来表示，如图1―4示：

图1―4 并联系统的模拟

图1―4所示的意思是当三个（或n个）结构元件同时失效时，该结构系统破坏，形成一种失效模式。此处需要说明的是，针对上例，失效杆件数并非只要达到三个，该系统就失效，有可能同时失效的结构元件数是2或4，该结构系统也失效。若用表示某一失效模式的失效概率，个失效元件的失效概率，则失效模式的失效概率也即并联系统的失效概率可用下式表示：

（2）

这就是并联系统失效概率的计算公式。从式（2）可看出，对于一般情况，并联系统的失效概率是失效路径长度（失效杆件数）的不增函数，也即随着失效路径的加长（失效杆件的增多），失效概率是不增加的。这就是杆件数相等的情况下超静定结构不易失效的原因之一。然而，失效模式的失效概率只能反映出现这一模式的概率，不能等同于结构系统的失效概率。

3、结构系统的可靠性及其失效概率的计算

结构系统的可靠性分析较结构元件的可靠性分析要复杂得多，其原因有以下几点：

3.1. 有些随机变量之间存在相关问题

例如，一个结构中各个元件强度之间、弹性模量之间、尺寸之间等会有相关关系。这种变量间存在的相关性，使结构系统可靠性的分析变得复杂。在不考虑结构自重的条件下，外载荷和强度变量之间可以认为是相互独立的。

3.2. 必须确定结构系统的失效模式及其中的主要失效模式

通常，结构系统是高度静不定的，一般需有若干个元件达到临界状态而失效后，才使整个结构系统失效，并形成一个失效模式。大型结构系统的失效可以有很多失效模式，而结构系统的失效概率通常是由那些失效概率较大的失效模式来控制，这些失效概率较大的失效模式就是主要失效模式，它们通常比一般的失效模式大两到三个数量级，因此一般的失效模式可以略去不计。

3.3. 主要失效模式的可靠度计算

当失效模式对应的安全余量为线性函数时，用一次二阶矩（First-Order Second Moment-FOSM）理论（即简化为只与分布函数参数的均值以及标准差有关）计算失效模式的可靠度或失效概率是比较省时的。当安全余量为随机变量的非线性函数，并含有正态随机变量（非正态变量可以当量化为正态随机变）和隐式变量(如结构响应的位移量)时，可采用SFEM（Stochastic Finite Element Method-SFEM）[3]与改进的一次二阶矩（Advanced Fist C Order Second Moment-AFOSM）[4]相结合的求解方法或响应面（Response Surface Method-RSM）等计算失效模式的失效概率或可靠度。

3.4. 整个结构系统可靠性的计算必须综合个主要失效模式

对于超静定结构，结构系统的失效模式是很多的，例如十六杆平面桁架冗余度是3的超静定结构，按塑性理论计算，其承载力失效模式至少有43680种，根据概率理论，考察结构的可靠性，就要考虑结构失效的各种可能性，在众多的失效模式中，只要有一种失效模式发生，结构系统就会失效。这种特性可形象地用一串联系统来模拟。仍以图1―3来说明串联系统。在上例中存在许多种失效模式，也即结构系统有多种可能的失效方式，任一失效模式的发生都会导致结构系统失效。所以在分析结构系统的可靠性时，应将各种失效的可能性都考虑进去，这用串联系统来模拟是恰当的。图1―5是串联系统的示意图：

图1―5个失效模式组成的串联系统

图1―5中，反映的是结构系统失效的各种失效模式组成的串联系统，只要任一失效模式发生都会导致结构系统破坏。其中每一并联系统都是由若干构件组成的一种失效模式。

在该系统中，用表示结构系统的失效概率，表示第个失效模式的失效概率，则有以下关系：

（3）

这就是结构系统失效概率的计算公式。从公式（3）可看出结构系统的失效概率是失效模式的不减函数，也即随着失效模式的增加，结构系统的失效概率是不会降低的。随着构件数量的增加，结构系统失效模式的增多，结构系统的失效概率会加大。

通常，结构系统是高度静不定的，一般需有若干个构件达到临界状态而失效后，才使整个结构系统失效，形成一个失效模式。在结构系统的可靠性分析时可只选取主要失效模式进行串联并判断结构系统的可靠性。由于失效模式间的相关性，即使只考虑主要失效模式，要精确计算结构系统的可靠度也几乎是不可能的（涉及到多维联合概率的计算）。通常希望采用一些既考虑这种失效模式间的相关性，又计算较为简单的方法来估计结构系统的可靠性。

结论

结构系统的可靠性分析是以系统本身为研究对象，这不同于结构构件的可靠性分析，因而难度也很大，本文系统地论述了以下几个方面：

1．结构构件的可靠性：结构构件的可靠性是结构系统可靠性的重要保证，然而又不同于结构系统的可靠性，是分析结构失效模式可靠性的必然。

2．失效模式的可靠性：失效模式的可靠性是分析结构系统可靠性的必然，反映是结构系统某一失效的可能性。

3，结构系统的可靠性：结构系统的可靠性是综合了杆件的可靠性、失效模式的可靠性以及结构的主要失效模式后，对结构系统进行较全面的可靠性分析，更科学合理。

目前我国的工程结构设计，是从单个结构元件的可靠性出发，并将可靠性的要求以分项系数的形式表示出来由于结构元件的可靠指标定得较高，这样结构系统的可靠性通常情况下是可以得到保障的。

参考文献

[1]安伟光．结构系统可靠性和基于可靠性的优化设计[M]．北京：国防工业出版社．

[2]中华人民共和国建设部．建筑结构可靠度设计统一标准[M]．北京：中国建筑工业出版社．2007．

[3]陈虬，刘先斌．随机有限元法及其工程应用[M]．成都：西南交通大学出版社．1993．

[4]安伟光，朱卫兵，严心池．随机有限元法在不确定性分析中的应用[J]．哈尔滨工程大学学报，2002，23(1)：132～135．[5]