更新理论与硬盘动态电源管理

摘要：硬盘从空闲状态转入低功耗状态，再转入空闲状态这一过程可以认为是一个更新过程，而用户与硬盘则构成了一个排队系统。利用更新理论及排队论可以将硬盘电源管理系统建模为性能约束与能耗约束的最优化问题。

关键词：更新理论；硬盘；动态电源管理

中图分类号：TP302文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)10-2419-03

Renewal Theory and Hard Disk Power Management

RAO Peng

(Technical Support Centre of ATMB of Southern and Middle China, CAAC, Guangzhou 510403, China)

Abstract: The process of hard disk from idle to low-power mode, and then turning to idle can be viewed as a renewal process. The user and hard disk construct a queuing system. The hard disk power management system is modeled by renewal theory and queue system theory.

Key words: renewal theory; hard disk; dynamic power management

从总体上讲，功耗降低技术在嵌入式系统范畴内可以分为两大类[1]：静态技术和动态技术。静态技术主要在系统初始设计过程中使用，其假设系统的功能定义和工作模式已知，而且在将来也不会改变。与静态技术相对应，动态技术则是系统在运行阶段充分利用工作负载的变化性来动态改变设备工作模式，从而达到降低系统功耗的目的[2]。动态技术本质上是一个系统级的设计方法，其最关键之处在于电源管理(Power Management，PM)单元：PM监控整个系统的工作状态，当发现系统处于低负载或者无负载状态时，就发送命令来控制目标设备的工作模式。

1 硬盘电源管理系统模型

硬盘电源管理系统模型如图1所示。系统的每一部分行为都可以用概率分布来描述。用户行为可以用请求到达间隔时间分布来描述。同样，设备的行为，可以用服务时间分布来描述。状态转换时间分布描述设备在不同状态转换的行为。请求到达间隔时间分布和服务时间分布之间的联系就描述了缓冲队列的行为。这几类概率分布就组成了电源管理系统需要解决的随机最优化问题。

1.1 用户

通过采集硬盘请求到来的轨迹可以分析用户的行为。本文采用Brigham Young大学的PEL实验室采集的硬盘请求轨迹[3]。这个硬盘轨迹是连续15天在程序开发人员的环境下采集的，包括文本编辑器，编译器，IDE，浏览器，邮件，桌面环境的使用。

用户有活动和空闲两种状态。文献[4]给出了硬盘超时策略的最佳取值2s，将这段时间有请求到来的时间视为用户活动状态（在分析中为了精确，采用了3s）。通过Matlab来分析用户活动状态请求来到时间间隔的分布，如图2。

在图2中，实验曲线是实际的用户请求来到时间间隔分布，指数曲线是用户请求来到时间间隔指数分布曲线。在用户活动状态下，请求到来间隔时间分布近似于指数分布，可以用指数分布来描述活动状态下的请求间隔时间分布。用λra来表示单位时间内请求到来的平均个数，1/λra则表示请求平均间隔时间，那么在间隔时间t内，请求到来的概率分布函数如下：

(1)

可以采用分析活动状态请求的方法来分析空闲状态的请求，如图3。

仍然可以用指数分布来描述空闲状态下请求间隔时间的分布。用λri来表示空闲状态下请求在单位时间到来的平均个数，1/λri表示请求平均间隔时间，那么在间隔时间t内，请求到来的概率分布可以表示为：

(2)

为什么要把用户请求分成活动状态和空闲状态来分析呢？这和用户的I/O特性是紧密相关的。用户对硬盘的I/O请求主要集中在某段时间，而且I/O请求在这段时间内来到的间隔时间几乎都是在1s中之内，如果将空闲状态请求和活动状态请求放在一起分析，空闲状态将会被忽视掉。

1.2 硬盘

硬盘的服务时间分布可以用指数分布来描述[5]。用λsp表示单位时间内硬盘服务的请求的个数即服务率，平均服务时间为1/λsp，则在间隔时间t内，硬盘服务请求的概率分布函数可以表示为：

(3)

λsp可以通过硬盘参数传输率来估算。

硬盘从idle状态转换到sleep状态的平均时间用Tts表示，Tts的值约为0.67秒；硬盘从sleep状态转换到active状态的平均时间用Tta表示，Tta的值约为1.6秒。

1.3 服务队列

队列用来描述还有多少个请求处于等待状态。通过对请求轨迹的分析，可以用大小为10的队列。

通过上面的系统描述和轨迹分析，可以获得表1的结论。

由于用户请求来到间隔时间与硬盘的服务时间在活动状态都是指数分布，用户与硬盘就组成了一个M/M/1排队系统[6]。

2 更新理论与硬盘动态电源管理

更新理论研究随机过程中存在独立同分布的间隔时间序列，其过程在每一间隔时间都可视为一个重新开始的过程；泊松过程是更新理论的一个特例，下面给出其严格定义。

随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件”的总数。计数过程{N(t),t≥0}称为泊松过程[7]，具有参数λ，λ＞0，如果

1）N(0)=0,

2）过程有独立增量，

3）在任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为λt的泊松分布。即对一切s,t≥0，

以X1记第一个时间来到的时刻，对n≥1，以Xn记第(n-1)个到第n个事件之间的时间，序列{Xn,n≥1}称为来到间隔分布[6-7]。泊松过程中Xn,n=1,2,…, 为独立同分布的均值为1/λ的指数随机变量。

从泊松过程的定义我们知道过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且有与原过程完全一样的分布（平稳增量），也就是说过程无记忆性（指数分布）。

如果计数过程{N(t),t≥0}的来到间隔独立同分布，分布函数任意，则称为更新过程[7]。由于间隔是独立同分布的，所以在各个更新时刻此过程在概率意义上重新开始。

在硬盘电源管理系统中，用户在活动状态，空闲状态的请求来到间隔时间分布，硬盘服务间隔时间分布都是指数分布，可以视为泊松过程来研究。

硬盘从idle状态转换到其他状态，再转换到idle状态这一循环过程可以视为一更新过程[5]。当硬盘处于idle状态时，可以做决策，将硬盘转入低功耗状态，如sleep状态；硬盘进入sleep状态，如果有请求到来，硬盘转入active状态，服务完所有请求，硬盘进入idle状态，即重新进入一个更新过程。而硬盘处于idle状态，在转入sleep状态前有请求到来，硬盘将转入active状态。图4是基于更新理论的硬盘状态转换图。

3 系统建模

把等效工作时间平均分成N段时间间隔，每一等分时刻作为一个决策时刻，策略由每一决策时刻进入低功耗状态的概率集合组成。

定义S={jh|j=1,2…,N}为系统在idle状态决策时刻集合，其中Nh等于等效工作时间；

P={p(j)|j=1,2…,N }系统的策略优化决策集合，p(j)是系统在jh时刻将硬盘从idle状态转入sleep状态的概率；

E(tj)系统在jh时刻至下一个更新过程来到的时间间隔数学期望；

q(j)在E(tj)时间的性能损耗；

c(j)在E(tj)时间的能量损耗；

Pst为能量损耗约束，则可以构造在能量损耗约束的条件下，性能损耗最小的最优化问题（反之亦然），如公式4。

(4)

是能量损耗数学期望，是能量损耗约束下数学期望，能量损耗要小于等于能量损耗约束。

4 结束语

硬盘在嵌入式系统特别是移动设备如笔记本电脑等的能耗中占据相当大的比重，为硬盘提供有效的电源管理，对系统的节省能耗，延长使用时间具有重要的意义。本文研究了硬盘电源管理系统模型，硬盘从空闲状态转入低功耗状态，再转入空闲状态这一过程可以认为是一个更新过程，而用户、缓冲队列和硬盘则构成了一个排队系统。本文利用更新理论模型算法对硬盘电源管理系统进行建模。

参考文献：

[1] Rabaey J,Pedram M.Low Power Design Methodologies[M].Kluwer,1996:78-93.

[2] Lu Y H,Chung E Y,Simunic T,et al.Quantitative Comparison of Power Management Algorithms[C]//Design Automation and Test in Europe,2000:20-26.

[3] tds.cs.byu.edu/tds/.

[4] Li K,Kumpf R,Horton P,et al.A Quantitative Analysis of Disk Drive Power Management in Portable Computers[C]//USENIX Winter 1994 Technical Conference.San Francisco,1994:22-22.

[5] Simunic T,Benini L,Glynn P,et al.Event-Driven Power Management[J].IEEE Transactions on Computer-aided Design of Integrated Circuits and Systems,2001,20(7):840-857.

[6] 王文平,侯合银,来向红.运筹学[M].北京:科学出版社,2007:270-299.

[7] Ross S M.随机过程[M].何声武,谢盛荣,程依明,译.北京:中国统计出版社,1997:22-83.