面板数据分析中含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型研究

摘要： 在面板数据分析中残差自相关使得参数估计更加复杂。本文提出了含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型，并推导了在这一模型中如何计算广义最小二乘估计量及其相关性质。

Abstract： The autoregression of residual disturbances makes it more difficult to estimate the parameters in panel data analysis. The paper puts forward an one-way error components model containing AR（2） process of residual disturbances and then derives how to get GLS estimates and the estimates' properties.

关键词： 单因素误差分量模型；广义最小二乘估计；两阶自回归

Key words： one-way error components model；GLS Estemates；AR（2） Process

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）29-0281-03

0 引言

单因素误差分量模型在计量经济学领域尤其是面板数据分析中有着广泛的应用，并且引起了国内外学者的大量研究。Balestra和Nerlove（1966）首先将误差分量模型应用于天然气的需求研究。Lillard和Willis（1978）推广误差分量模型至残差序列相关的情况。Revankar（1979）、Magnus和Woodland（1988）对含序列相关的静态模型进行了研究，Anderson和Hsiao（1981，1982）、Bhargava和Sargan

（1983）对动态误差分量模型进行了研究。本文在国内外学者研究的基础上对含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型进行了研究，推导了此类模型的GLS（广义最小二乘）估计量。本文主要分为四部分：第一部分介绍了单因素误差分量模型的一般形式；第二部分提出了含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型并推导了其GLS参数估计；第三部分介绍了模型的GLS估计值的性质；第四部分为结论与展望。

1 单因素误差分量模型的一般形式

单因素误差分量模型具有如下的一般形式：

yit=■xitβk+uit，i=1，2，…，N t=1，2，…，T

其中uit=ai+vit或者uit=λt+vit，ai表示个体不变效应，λt表示时间不变效应。本文中将以uit=ai+vit为例，对于uit=λt+vit的推导与本文的方法类似只需进行相应的变换即可。模型的假设如下：

假设1：自变量x满足外生性假设，即E（ai│xi1，xi2，…xiT）=0，？坌i

E（vit│xi1，xi2，…xiT）=0，？坌i，t。

假设2：残差ai与vit满足同方差假定，即Var（ai│xi1，xi2，…xiT）=σa2，？坌i

Var（vit│xi1，xi2，…xiT）=σv2，？坌i，t。

假设3：误差ai与残差vit互不相关，即

cov（ai，vjt│xi1，xi2，…xiT，xj1，xj2，…xjT）=0，？坌i，j，t，

cov（ai，aj│xi1，xi2，…xiT，xj1，xj2，…xjT）=0，？坌i，j当i≠j时，

cov（vit，vjs│xi1，xi2，…xiT，xj1，xj2，…xjT）=0，？坌i，j，t，s当i≠j或t≠s时。

模型用矩阵的形式可以表示为：Y=Xβ+u（1）

其中Y为NT×1的向量，X为NT×K的向量，β=（β1，β2…βK）'是K×1的向量，u=a？塥lT+v，？塥表示克罗内克积，u为NT×1的向量，a=（a1，a2，…aN）'，为N×1向量，lT为全部元素为1的T×1的向量，v为NT×1的向量。式（1）的方差协方差矩阵为cov（u，u'│X）=Ω=σ■■（IN？塥JT）+σ■■（IN？塥IT），其中IN为N阶单位矩阵，JT为全部元素为1的T×T阶的方阵。Wansbeek和Kapteyn（1982，1983）设计了一种简单方法来求解Ω-1和Ω■。设JT=■JT，ET=IT-JT，所以Ω=Tσ■■（IN？塥JT）+

σ■■（IN？塥（ET+JT））=（Tσ■■+σ■■）（IN？塥JT）+σ■■（IN？塥ET）=σ■■P+σ■■Q其中σ■■=Tσ■■+σ■■，P=IN？塥JT，Q=IN？塥ET=INT-P，所以Ω-1=■P+■Q，Ω■=■P+■Q。实际上我们可以得到Ωr=（σ■■）rP+（σ■■）rQ，r为任意一个标量。

用求得的σvΩ■左乘式（1）得到

σvΩ■Y=σvΩ■Xβ+σvΩ■u（2）

式（2）的方差协方差矩阵变为

cov（（σvΩ■u），（σvΩ■u）'）=cov（σvΩ■uσvu'Ω■）=σ■■Ω■cov（uu'）Ω■=σ■■INT，这样就可以对式（2）进行最小二乘估计，得到■GLS=（X'Ω-1X）-1X'Ω-1Y。

2 含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型

在计量经济分析中经常会出现残差自相关的情况，一旦出现自相关上述方法将不再适用。在本文提出的含两阶段自回归残差的单因素误差分量模型中，假设残差vit存在两阶段自相关，即

vit=ρ1vi，t-1+ρ2vi，t-2+εit（3）

并且E（εit│xi1，xi2，…xiT）=0，Var（εit│xi1，xi2，…xiT）=σ■■，？坌i，t，ρ■