浅谈旋转变换在一些几何题中的运用

摘 要：文章从利用旋转变换的性质将图形运动起来浅谈了初中数学中对一些几何题的解题途径。以分析六道例题为样，把“分散”的条件“集中”起来，使比较复杂的问题简单化。

关键词：中学数学；解题；旋转；运动

解某些数学几何题时，我们常会遇到这样一些问题：题目的已知条件和结论似乎看不清它们有何联系，直接得到解题思路比较困难，这时我们不妨利用旋转变换：在平面内把一个图形绕某个定点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形，它与原来的图形的大小和形状相同。当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，从而把分散的条件相对集中起来，问题就可迎刃而解。

例1 （如图一示）在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长。

图一

分析：此题的条件和结论似乎看不清它们有何关系，条件分散，若将ADP运动起来，绕D点逆时针方向旋转90°，得到CDF，这样条件就集中，而问题就简单了。

则CFD≌APD，所以原四边形ABCD的面积转化为四边形DPBF的面积，不难得出四边形DPBF为正方形，故S正方形DPBF=DP2=16，所以DP=4。

例2（如图二示）ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，且∠DAE=45°。求证：BE2+DC2=ED2。

图二

分析：有AB=AC，可将ABE绕A点逆时针方向旋转90°，得到ACF，从而AF=AE，FC=BE，不难得∠FCD=90°连接FD，故有FC2+DC2=FD2。

欲证BE2+DC2=ED2，结合图形，只需证DF=ED。

事实上，AE=AF，∠EAD=∠DAF=45°，AD=AD，故有AED≌AFD。

这样问题就得到解决了。

例3（如图三示）P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数？

图三

分析：单从条件和结论看，似乎看不出它们有何关系，条件很分散，难以入手。

由正方形ABCD得知AB=BC如果将ABP绕点B顺时针方向旋转90°，得CP1B。然后连接PP1，这样分散的条件就得以集中。

由旋转的性质可得BP1=PB=2，P1C=PA=1，∠PBP1=90°，可知P1P2=PB2+BP12=8，不难发现，PP1C中，PC2=PP12+P1C2，故∠PP1C=90°。

这样条件与结论就勾通了。

例4（如图四示）正方形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，若∠1=∠2，求证：PA=PB+DQ。

图四

分析：此题将ADQ绕A点顺时针方向旋转90°，得到ABQ1，可得DQ=BQ1，∠1=∠3，∠5=∠Q1

欲证PA=PB+DQ，只需证PA=PQ1，因为∠1=∠2，∠5=∠2+∠4

所以∠Q1=∠3+∠4，所以PA=PQ1=PB+BQ1=PB+DQ。

例5 （如图五示）正方形ABCD内有一内接AEF，若∠EAF=45°，AB=8cm，EF=7cm，求EFC的面积？

图五

分析：本题的思路与上题相似，将ADF绕A点顺时针方向旋转90°，得到ABD1，可知∠DAF=∠D1AB，DF=D1B，不难得：

∠D1AE=∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°

由AF=AD1，∠EAF=∠EAD1=45°，AE=AE，可得AEF≌AED1，故D1E=EF=7cm，SEFC=S正方形ABCD-（SABE+SAEF+SADE）=S正方形ABCD-（SAD1E+SAEF）

=S正方形ABCD-2SAED1

=AB2-2×12×D1E×AB=8（cm）2

图六

例6 （如图六示）两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为1。则阴影部分的面积是 。

分析：图中的阴影部分不随旋转变化而变化，所以我们只需要考虑把正六边形PQRSTU绕着正六边形ABCDEF的中心P旋转，当点B和点Q重合的时候，阴影部分变成了一个菱形。如图七所示正好是正六边形面积的13，所以S阴影=13×S正六边形ABCDEF=13。

图七

这样一来，就像在条件和结论间架起了一座桥梁，而将图形的某部分运动起来是从此岸到彼岸较好的途径，使问题由繁到简而得以解决。