巧选正交分解法的坐标轴

【摘 要】正交分解法是解决物理学中矢量问题的最有力的工具。在求合力、共点力的平衡、牛顿运动定律的运用及匀速圆周运动中都会用到正交分解法。正交分解法中，坐标轴选择的好坏关乎到所列方程的简洁和代数运算的简便。

【关键词】正交分解法；坐标轴的选取

正交分解法是解决物理学中矢量问题的最有力的工具，正交分解法运用“欲合先分”的策略，降低了运算的难度，是解题中的一种重要思想方法。在运用正交分解法讨论或计算物理问题时,关键是坐标轴的选取。

【例1】如图1，质量为m的人，站在自动扶梯上，已知鞋底与扶梯台阶间的动摩擦因数是μ，扶梯与水平面的夹角是θ。人随扶梯以加速度a一起向上运行。人受的支持力大小为__________，摩擦力大小为__________。

分析与解一：因人随扶梯以加速度a一起向上运行，故人受竖直向下的重力、竖直向上的支持力、水平向右的静摩擦力。如选沿a方向为x轴正方向，垂直a方向为y轴正方向时则须分解三个力，如图2，则有方程组：

Fx=fcosθ+Nsinθ-mgsinθ=ma ①

Fy=Ncosθ+mgcosθ-fsinθ=0 ②

解此方程组需用如下方法：

①×sinθ+②×cosθ得：

N=masinθ+mg③

①×cosθ-②×sinθ得：

f=macosθ ④

分析与解二：上两式方程立式繁琐，计算繁难，而图中N、G均与f垂直，故可选如图3所示的坐标轴，这样就只需将a进行水平竖直两个方向的正交分解，则有方程组：

Fx=f=max=macosθ ⑤

Fy=N-G=may=masinθ ⑥

很简单的立方程很简捷的计算（只需移项），解得：N=mg+masinθ，f=macosθ

说明：例1的解法中所选的坐标轴方向实质上就是选人站在扶梯上时沿两者的接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴方向，那么这种选择真的就能使所列方程简洁，计算简便吗？下面再通过两条例题进行研究：

【例2】一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a，如图4所示。在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法中正确的是（ ）

①当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越小

②当θ一定时，a越大，斜面对物体的摩擦力越大

③当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小

④当a一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小

A.①③ B.②④

C.①④ D.②③

分析与解一：物体受力情况如图5所示，通常选a的方向为x轴正方向，水平向右方向为y轴正方向，则有方程组：

Fx=fμsinθ+FN cosθ-mg=ma ①

Fy=fμcosθ-FN sinθ=0 ②

解此方程组同样如例1的解一：

①×sinθ+②×cosθ得：

Fu=m(g+a)sinθ ③

①×cosθ-②×sinθ得：

FN=m(g+a)cosθ ④

由③式可知：θ一定时，a越大，Fμ越大；a一定时，θ越大，Fμ越大。

由④式可知：θ一定时，a越大，FN越大；a一定时，θ越大，FN越小，故选D。

分析与解二：而如果选沿接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴，如图6所示，将需将加速度沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，则有方程组：

Fx=Fμ-mgsinθ=max=masinθ ⑤

Fy=FN-mgsinθ=may=macosθ ⑥

此方程组同样只需移项就可很简单的得到解一中的答案③④。

【例3】如图7所示，一个光滑的圆锥体固定在水平面上，其轴线沿铅直方向，母线与轴线间夹角θ=30°。一条长为l的轻质细绳，一端固定在锥体顶点0处，另一端拴着质量为m的小球，球以速率v绕锥体轴线作水平匀速圆周运动.求：当v=时，绳对球的拉力及锥面对球的支持力。

分析与解一：物体受力情况如图8所示，若选向心加速度an的方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，则有方程组：

Fx=Tsinθ-Ncosθ=man ①

Fy=Tcosθ+Nsinθ-mg=0 ②

解此方程组同样如例1解一：

①×sinθ+②×cosθ

得：T=mgcosθ+mansinθ ③

①×cosθ-②×sinθ

得：N=mgsinθ-mancosθ ④

分析与解二：如果选沿接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴，如图9所示，将加速度an沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，分别在该两方向应用牛顿第二定律，则有方程组：

Fx=T-mgcosθ=max=mansinθ ⑤

Fy=mgsinθ-N=may=mancosθ ⑥

其中an== ⑦

由⑤式移项得③式，由⑥式移项得④式

由③④⑦三式可看出，当v增大时，向心加速度an增大，球受支持力N减小，绳拉力T增大。当N=0时，a临=gtanθ=g，由⑦式即v临=，此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于临界状态。

本题因v=

由④式得N=mg

经过上述分析和比较可知，应用正交分解法处理牛顿运动定律的应用问题时，选择坐标轴应优先选沿接触面和垂直于接触面的两个方向为x、y坐标轴方向，这样可分解的力更少，代数方程的式子更为简洁，代数运算更为简便，更能提高学生的解题能力和速度。

（作者单位：江苏省靖江市斜桥中学）